Номер 855, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

855. Решите уравнение (x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 4.

Дано уравнение $(x + 3)^4 + (x + 5)^4 = 4$.

Это уравнение является симметричным относительно некоторого центра. Для его решения удобно ввести замену переменной, которая будет представлять собой центр симметрии для выражений в скобках. Найдем среднее арифметическое выражений $x+3$ и $x+5$:
$y = \frac{(x+3) + (x+5)}{2} = \frac{2x+8}{2} = x+4$.

Выразим $x+3$ и $x+5$ через новую переменную $y$:
$x+3 = (x+4) - 1 = y - 1$
$x+5 = (x+4) + 1 = y + 1$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(y - 1)^4 + (y + 1)^4 = 4$.

Теперь раскроем скобки, используя формулу бинома Ньютона $(a \pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4$.
$(y-1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$
$(y+1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1$

Сложим полученные выражения:
$(y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) + (y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) = 4$
Члены с нечетными степенями $y$ взаимно уничтожаются:
$2y^4 + 12y^2 + 2 = 4$

Перенесем 4 в левую часть и упростим уравнение:
$2y^4 + 12y^2 - 2 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2:
$y^4 + 6y^2 - 1 = 0$

Получили биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: пусть $z = y^2$. Поскольку мы ищем действительные корни $x$, то $y$ также должно быть действительным числом, а значит $z$ должно быть неотрицательным ($z \ge 0$).
Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $z$:
$z^2 + 6z - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней: $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Здесь $a=1, b=6, c=-1$.
$z = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10}$.

Мы получили два возможных значения для $z$:
$z_1 = -3 + \sqrt{10}$
$z_2 = -3 - \sqrt{10}$

Теперь проверим условие $z \ge 0$.
Значение $z_2 = -3 - \sqrt{10}$ является отрицательным, так как это сумма двух отрицательных чисел, следовательно, это посторонний корень.
Для значения $z_1 = -3 + \sqrt{10}$, заметим, что $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$, поэтому $-3 + \sqrt{10} > 0$. Этот корень удовлетворяет условию.

Итак, мы имеем $y^2 = z_1 = \sqrt{10} - 3$.
Отсюда находим два действительных значения для $y$:
$y = \pm\sqrt{\sqrt{10} - 3}$.

Наконец, вернемся к исходной переменной $x$. Мы использовали замену $y = x+4$, откуда следует, что $x = y-4$.
Подставим найденные значения $y$, чтобы найти корни уравнения для $x$:
$x_1 = \sqrt{\sqrt{10} - 3} - 4$
$x_2 = -\sqrt{\sqrt{10} - 3} - 4$

Оба корня можно записать в одной форме.

Ответ: $x = -4 \pm \sqrt{\sqrt{10} - 3}$.