Номер 848, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 848, страница 210.

Условие.

848. Найдите все значения a, при которых один из корней уравнения x² – 3,75x + a³ = 0 является квадратом другого.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 3,75x + a^3 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно условию задачи, один корень является квадратом другого. Без ограничения общности, положим $x_2 = x_1^2$.

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Для нашего уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-3,75) = 3,75$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a^3$

Подставим в эти равенства наше условие $x_2 = x_1^2$. В результате получим систему двух уравнений:
$ \begin{cases} x_1 + x_1^2 = 3,75 \\ x_1 \cdot x_1^2 = a^3 \end{cases} $
Упростим эту систему:
$ \begin{cases} x_1^2 + x_1 - 3,75 = 0 \\ x_1^3 = a^3 \end{cases} $

Сначала решим первое уравнение системы относительно $x_1$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $3,75 = 3 \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$.
$x_1^2 + x_1 - \frac{15}{4} = 0$
Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$4x_1^2 + 4x_1 - 15 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$. Найдем его корни, используя формулу для дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
Теперь найдем возможные значения для $x_1$:
$x_{1,1} = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$.
$x_{1,2} = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2,5$.

Теперь вернемся ко второму уравнению системы: $x_1^3 = a^3$.
Извлекая кубический корень из обеих частей этого равенства, мы получаем, что $a = x_1$.

Следовательно, каждому найденному значению $x_1$ соответствует значение параметра $a$:
1. Если $x_1 = 1,5$, то $a = 1,5$.
2. Если $x_1 = -2,5$, то $a = -2,5$.

Таким образом, мы нашли все значения параметра $a$, при которых выполняется условие задачи.

Ответ: $a = -2,5; 1,5$.