Номер 846, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

846. Найдите множество значений функции y = $\frac{x}{x^2+1}$.

Для нахождения множества значений функции $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ определим, какие значения может принимать переменная $y$. Для этого будем рассматривать данное равенство как уравнение относительно $x$ с параметром $y$ и найдем, при каких значениях $y$ это уравнение имеет действительные решения.

Сначала отметим, что область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как знаменатель $x^2 + 1$ всегда строго положителен ($x^2 + 1 \ge 1$ при любом $x$).

Преобразуем исходное уравнение: $$ y = \frac{x}{x^2 + 1} $$ Умножим обе части на $x^2 + 1$: $$ y(x^2 + 1) = x $$ $$ yx^2 + y = x $$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид уравнения: $$ yx^2 - x + y = 0 $$

Теперь проанализируем полученное уравнение в зависимости от параметра $y$.

Случай 1: $y = 0$. Если $y=0$, уравнение принимает вид: $$ 0 \cdot x^2 - x + 0 = 0 $$ $$ -x = 0 $$ $$ x = 0 $$ Уравнение имеет действительный корень $x=0$. Это означает, что значение $y=0$ достигается функцией, и, следовательно, $0$ входит в множество значений функции.

Случай 2: $y \neq 0$. При $y \neq 0$ уравнение $yx^2 - x + y = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Такое уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot y \cdot y = 1 - 4y^2 $$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$: $$ 1 - 4y^2 \ge 0 $$ $$ 1 \ge 4y^2 $$ $$ y^2 \le \frac{1}{4} $$

Это неравенство равносильно $|y| \le \sqrt{\frac{1}{4}}$, то есть: $$ |y| \le \frac{1}{2} $$ Что в виде двойного неравенства записывается как: $$ -\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2} $$

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы видим, что значение $y=0$ из первого случая входит в промежуток $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, полученный во втором случае. Таким образом, множество всех возможных значений $y$, при которых исходное уравнение имеет действительные решения, является отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Это и есть искомое множество значений функции.

Ответ: $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.