Номер 843, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 843, страница 209.

Условие.

843. При каком значении a графики функций y = x² – 7x + a и y = –3x² + 5x – 6 имеют единственную общую точку? Найдите её координаты.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти общие точки графиков двух функций, необходимо приравнять их правые части. Графики будут иметь единственную общую точку в том случае, если получившееся уравнение будет иметь ровно один корень.

Даны функции: $y = x^2 - 7x + a$ и $y = -3x^2 + 5x - 6$.

Приравниваем выражения для $y$:$x^2 - 7x + a = -3x^2 + 5x - 6$

Переносим все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:$x^2 - 7x + a + 3x^2 - 5x + 6 = 0$$(1+3)x^2 + (-7-5)x + (a+6) = 0$$4x^2 - 12x + (a+6) = 0$

Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.Для нашего уравнения коэффициенты равны: $A=4$, $B=-12$, $C=(a+6)$.

Вычисляем дискриминант:$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (a+6) = 144 - 16(a+6)$

Приравниваем дискриминант к нулю и решаем уравнение относительно $a$:$144 - 16(a+6) = 0$$144 = 16(a+6)$$a+6 = \frac{144}{16}$$a+6 = 9$$a = 9 - 6$$a = 3$

Итак, при $a=3$ графики функций имеют одну общую точку. Теперь найдем ее координаты. Сначала определим абсциссу ($x$) этой точки. Корень уравнения при $D=0$ можно найти по формуле $x = -\frac{B}{2A}$.$x = -\frac{-12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

Чтобы найти ординату ($y$), подставим найденное значение $x=1.5$ в уравнение любой из исходных функций. Для проверки можно подставить в обе.

1. Используем первую функцию $y = x^2 - 7x + a$ при $a=3$:$y = (1.5)^2 - 7(1.5) + 3 = 2.25 - 10.5 + 3 = -5.25$

2. Используем вторую функцию $y = -3x^2 + 5x - 6$:$y = -3(1.5)^2 + 5(1.5) - 6 = -3(2.25) + 7.5 - 6 = -6.75 + 7.5 - 6 = 0.75 - 6 = -5.25$

Оба значения совпали. Координаты общей точки: $(1.5; -5.25)$.

Ответ: при $a=3$ графики функций имеют единственную общую точку с координатами $(1.5; -5.25)$.