Номер 845, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

845. При каких значениях m квадратный трёхчлен

mx² + (m – 1)x + m – 1

принимает только отрицательные значения?

Для того чтобы квадратный трёхчлен $f(x) = mx^2 + (m-1)x + m-1$ принимал только отрицательные значения, необходимо, чтобы неравенство $f(x) < 0$ выполнялось для всех действительных значений $x$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $m$.

Случай 1: $m=0$

Если $m=0$, то выражение становится линейной функцией: $f(x) = (0-1)x + (0-1) = -x - 1$. Графиком является прямая линия. Область значений этой функции — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$, поэтому она не может принимать только отрицательные значения. Следовательно, $m=0$ не является решением.

Случай 2: $m \neq 0$

В этом случае $f(x)$ является квадратичной функцией, графиком которой является парабола. Чтобы парабола целиком лежала ниже оси абсцисс (то есть $f(x) < 0$ для всех $x$), должны одновременно выполняться два условия:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент должен быть отрицательным: $a = m < 0$.

2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс, то есть квадратное уравнение $mx^2 + (m-1)x + m-1 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что его дискриминант $D$ должен быть строго отрицательным: $D < 0$.

Найдём дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (m-1)^2 - 4 \cdot m \cdot (m-1)$.

Теперь решим неравенство $D < 0$:$(m-1)^2 - 4m(m-1) < 0$

Вынесем общий множитель $(m-1)$:$(m-1)((m-1)-4m) < 0$$(m-1)(-3m-1) < 0$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:$(m-1)(3m+1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $(m-1)(3m+1)=0$ равны $m=1$ и $m=-1/3$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Поскольку парабола $y=(m-1)(3m+1)$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства $D<0$ есть $m \in (-\infty; -1/3) \cup (1; \infty)$.

Теперь нам нужно найти значения $m$, которые удовлетворяют обоим условиям ( $m<0$ и $D<0$ ) одновременно. Составим систему неравенств:$\begin{cases}m < 0 \\m \in (-\infty; -1/3) \cup (1; \infty)\end{cases}$

Найдём пересечение множеств $(-\infty; 0)$ и $(-\infty; -1/3) \cup (1; \infty)$. Очевидно, что пересечением является интервал $(-\infty; -1/3)$.

Ответ: $m \in (-\infty; -1/3)$.