Номер 844, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 844, страница 209.

Условие.

844. Докажите, что многочлен x⁸ + x⁶ – 4x⁴ + x² + 1 не принимает отрицательных значений.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства того, что многочлен $P(x) = x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1$ не принимает отрицательных значений, необходимо показать, что $P(x) \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Поскольку многочлен содержит только четные степени переменной $x$, мы можем сделать замену $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$. Подставив $y = x^2$ в исходный многочлен, получим многочлен от переменной $y$:

$Q(y) = y^4 + y^3 - 4y^2 + y + 1$

Наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что $Q(y) \ge 0$ для всех $y \ge 0$. Для этого разложим многочлен $Q(y)$ на множители. Сгруппируем его члены следующим образом, чтобы выделить известные формулы:

$Q(y) = (y^4 - 2y^2 + 1) + (y^3 - 2y^2 + y)$

Первая группа слагаемых является полным квадратом разности $(y^2 - 1)$:

$y^4 - 2y^2 + 1 = (y^2 - 1)^2$

Во второй группе слагаемых вынесем общий множитель $y$ за скобки. Выражение в скобках также является полным квадратом:

$y^3 - 2y^2 + y = y(y^2 - 2y + 1) = y(y - 1)^2$

Теперь многочлен $Q(y)$ можно записать в виде суммы двух слагаемых:

$Q(y) = (y^2 - 1)^2 + y(y - 1)^2$

Применим формулу разности квадратов к первому слагаемому: $(y^2-1)^2 = ((y-1)(y+1))^2 = (y-1)^2(y+1)^2$. Подставим это в выражение для $Q(y)$:

$Q(y) = (y-1)^2(y+1)^2 + y(y-1)^2$

Вынесем общий множитель $(y-1)^2$ за скобки:

$Q(y) = (y-1)^2 [(y+1)^2 + y]$

Раскроем скобки внутри квадратных скобок и упростим выражение:

$Q(y) = (y-1)^2 [ (y^2 + 2y + 1) + y ] = (y-1)^2(y^2 + 3y + 1)$

Мы представили $Q(y)$ в виде произведения двух множителей: $(y-1)^2$ и $(y^2 + 3y + 1)$. Теперь проанализируем знак каждого из них при условии $y \ge 0$.

1. Множитель $(y-1)^2$. Это квадрат действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(y-1)^2 \ge 0$ для любого $y$.

2. Множитель $(y^2 + 3y + 1)$. Поскольку мы рассматриваем случай $y \ge 0$, то каждое слагаемое в этом выражении неотрицательно: $y^2 \ge 0$ и $3y \ge 0$. Следовательно, их сумма с положительной единицей будет строго положительной: $y^2 + 3y + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1 > 0$.

Таким образом, многочлен $Q(y)$ является произведением неотрицательного множителя $(y-1)^2$ и строго положительного множителя $(y^2 + 3y + 1)$. Такое произведение всегда неотрицательно, то есть $Q(y) \ge 0$ для всех $y \ge 0$.

Так как $P(x) = Q(x^2)$ и $x^2$ всегда удовлетворяет условию $x^2 \ge 0$, мы можем заключить, что $P(x) \ge 0$ для всех действительных значений $x$. Это доказывает, что исходный многочлен не принимает отрицательных значений.

Ответ: Утверждение доказано. Многочлен $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1$ можно представить в виде $(x^2-1)^2(x^4+3x^2+1)$, где оба множителя являются неотрицательными при любых действительных $x$, следовательно, их произведение также неотрицательно.