Номер 840, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 840, страница 209.

Условие.

840. Докажите, что при любых значениях a, b и c график функции y = (x – a)(x – b) – c² имеет хотя бы одну общую точку с осью x.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что график функции $y = (x - a)(x - b) - c^2$ имеет хотя бы одну общую точку с осью $x$ при любых значениях $a$, $b$ и $c$, необходимо показать, что уравнение $y = 0$ всегда имеет хотя бы одно действительное решение (корень).

Приравняем функцию к нулю, чтобы найти точки пересечения с осью $x$:$(x - a)(x - b) - c^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Чтобы это увидеть, приведем его к стандартному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$, раскрыв скобки:$x^2 - bx - ax + ab - c^2 = 0$$x^2 - (a + b)x + (ab - c^2) = 0$

Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \geq 0$. Найдем дискриминант этого уравнения, где коэффициенты равны: $A=1$, $B=-(a+b)$, $C=ab-c^2$.$D = B^2 - 4AC$$D = (-(a + b))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (ab - c^2)$$D = (a + b)^2 - 4ab + 4c^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:$D = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab + 4c^2$$D = a^2 - 2ab + b^2 + 4c^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, используя формулу квадрата разности:$D = (a - b)^2 + 4c^2$

Проанализируем полученное выражение для дискриминанта.Выражение $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a - b)^2 \geq 0$ при любых $a$ и $b$.Аналогично, выражение $c^2$ также всегда неотрицательно ($c^2 \geq 0$), а значит и $4c^2 \geq 0$ при любом $c$.Следовательно, дискриминант $D$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, поэтому он всегда неотрицателен:$D = (a - b)^2 + 4c^2 \geq 0$

Поскольку дискриминант $D$ всегда неотрицателен при любых действительных значениях параметров $a$, $b$ и $c$, то квадратное уравнение $x^2 - (a + b)x + (ab - c^2) = 0$ всегда имеет как минимум один действительный корень (один корень при $D=0$ и два корня при $D>0$). Это означает, что график функции $y = (x - a)(x - b) - c^2$ всегда имеет хотя бы одну точку пересечения с осью $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Уравнение $(x - a)(x - b) - c^2 = 0$, соответствующее точкам пересечения графика с осью $x$, имеет дискриминант $D = (a-b)^2 + 4c^2$. Так как $D$ является суммой двух квадратов, он всегда неотрицателен ($D \ge 0$) при любых значениях $a, b, c$. Следовательно, уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень, а график функции — хотя бы одну общую точку с осью $x$.