Номер 833, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

833. Постройте график функции:

а) Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} 0,5x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.
1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = 0,5x$. Это линейная функция, её график — прямая линия. Так как $x \ge 0$, мы строим луч, начинающийся на оси $y$.
- Найдём координаты двух точек для этого луча.
- Если $x = 0$, то $y = 0,5 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$ — начало луча.
- Если $x = 4$, то $y = 0,5 \cdot 4 = 2$. Точка $(4, 2)$ принадлежит лучу.
Таким образом, для $x \ge 0$ график — это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(4, 2)$.
2. При $x < 0$ функция имеет вид $y = -x$. Это также линейная функция, её график — луч, определённый для отрицательных значений $x$.
- Найдём координаты точек для этого луча.
- Граничная точка: при $x=0$ (не включая), $y=0$. Луч подходит к точке $(0, 0)$.
- Если $x = -2$, то $y = -(-2) = 2$. Точка $(-2, 2)$ принадлежит лучу.
Таким образом, для $x < 0$ график — это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ (не включая её) и проходящий через точку $(-2, 2)$.
3. Объединяем оба луча. Поскольку оба луча сходятся в точке $(0, 0)$, и эта точка включена в первую часть функции, график является непрерывным.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$. Один луч проходит через точку $(4, 2)$ в первой координатной четверти, а второй — через точку $(-2, 2)$ во второй координатной четверти.

б) Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} 2 + x, & \text{если } x \le -1 \\ 1, & \text{если } -1 < x \le 1 \\ 2 - x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$
Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.
1. При $x \le -1$ функция имеет вид $y = 2 + x$. Это линейная функция, её график — луч.
- Крайняя точка луча: при $x = -1$, $y = 2 + (-1) = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику.
- Для другой точки возьмём $x = -3$, тогда $y = 2 + (-3) = -1$. Точка $(-3, -1)$ принадлежит графику.
Строим луч, проходящий через точки $(-1, 1)$ и $(-3, -1)$ для всех $x \le -1$.
2. При $-1 < x \le 1$ функция имеет вид $y = 1$. Это константа, её график — горизонтальный отрезок.
- Отрезок соединяет точки с ординатой $y=1$ от $x=-1$ до $x=1$.
- Точка $(-1, 1)$ не включается (выколотая), а точка $(1, 1)$ включается (закрашенная).
3. При $x > 1$ функция имеет вид $y = 2 - x$. Это линейная функция, её график — луч.
- Начальная точка луча (выколотая): при $x = 1$, $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$.
- Для другой точки возьмём $x = 3$, тогда $y = 2 - 3 = -1$. Точка $(3, -1)$ принадлежит графику.
Строим луч, начинающийся в точке $(1, 1)$ и проходящий через $(3, -1)$ для всех $x > 1$.
4. Объединяем графики. В точке $x=-1$ первый график заканчивается в $(-1, 1)$, а второй начинается из $(-1, 1)$. В точке $x=1$ второй график заканчивается в $(1, 1)$, а третий начинается из $(1, 1)$. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Ответ: График функции — это непрерывная линия, состоящая из горизонтального отрезка прямой $y=1$ на промежутке $[-1, 1]$ и двух лучей, исходящих из его концов. Луч слева проходит через точку $(-3, -1)$, а луч справа — через точку $(3, -1)$. График симметричен относительно оси $y$.

в) Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 + 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.
1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = 2x^2$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
- Так как $x \ge 0$, мы строим правую ветвь этой параболы.
- Точки для построения: $(0, 0)$ — вершина (включена), $(1, 2 \cdot 1^2) = (1, 2)$, $(2, 2 \cdot 2^2) = (2, 8)$.
2. При $x < 0$ функция имеет вид $y = -x^2 + 1$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 1)$.
- Так как $x < 0$, мы строим левую ветвь этой параболы.
- Граничная точка: при $x=0$, $y=1$. Точка $(0, 1)$ — выколотая.
- Точки для построения: $(-1, -(-1)^2 + 1) = (-1, 0)$, $(-2, -(-2)^2 + 1) = (-2, -3)$.
3. Объединяем графики. В точке $x=0$ происходит разрыв. График состоит из двух несвязанных частей. На оси $y$ есть закрашенная точка $(0, 0)$ и выколотая точка $(0, 1)$.

Ответ: График состоит из двух частей парабол. Для $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы $y=2x^2$, начинающаяся в точке $(0, 0)$. Для $x < 0$ — это левая ветвь параболы $y=-x^2+1$, которая проходит через точку $(-1, 0)$ и приближается к точке $(0, 1)$ на оси ординат. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

г) Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 1 \\ -x^2 + 2x + 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$
Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.
1. При $x < 1$ функция имеет вид $y = x^2$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 0)$.
- Мы строим часть этой параболы для $x < 1$.
- Граничная точка: при $x=1$, $y=1^2=1$. Точка $(1, 1)$ — выколотая.
- Точки для построения: $(0, 0)$ — вершина, $(-1, 1)$, $(-2, 4)$.
2. При $x \ge 1$ функция имеет вид $y = -x^2 + 2x + 1$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы с ветвями вниз.
- Найдём вершину этой параболы: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(-1)} = 1$.
- $y_v = -(1)^2 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.
- Вершина находится в точке $(1, 2)$. Поскольку $x \ge 1$, вершина является начальной точкой этой части графика, и она включена.
- Точки для построения: $(1, 2)$ — вершина, $(2, -(2)^2 + 2(2) + 1) = (2, 1)$, $(3, -(3)^2 + 2(3) + 1) = (3, -2)$.
3. Объединяем графики. В точке $x=1$ происходит разрыв. График "перескакивает" с выколотой точки $(1, 1)$ на закрашенную точку $(1, 2)$.

Ответ: График состоит из двух частей парабол. Для $x < 1$ — это часть параболы $y=x^2$ с вершиной в $(0, 0)$, которая доходит до выколотой точки $(1, 1)$. Для $x \ge 1$ — это правая половина параболы $y=-x^2+2x+1$, начинающаяся в своей вершине, точке $(1, 2)$. В точке $x=1$ функция имеет разрыв.