Номер 834, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 834, страница 208.

Условие.

834. Пересекаются ли парабола y = x² – 6x и прямая y – 8x = 0? Если да, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте ответ с помощью схематического рисунка.

Решение 1.

Решение 8.

Чтобы определить, пересекаются ли парабола $y = x^2 - 6x$ и прямая $y - 8x = 0$, и найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^2 - 6x \\ y - 8x = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим y:

$y = 8x$

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение системы:

$8x = x^2 - 6x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 8x = 0$

$x^2 - 14x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель x за скобки:

$x(x - 14) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$ или $x - 14 = 0 \implies x_2 = 14$

Так как мы получили два действительных решения для x, это означает, что графики параболы и прямой пересекаются в двух точках.

Теперь найдем соответствующие y-координаты для каждой точки пересечения, подставив найденные значения x в уравнение прямой $y = 8x$:

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 8 \cdot 0 = 0$

Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты (0, 0).

Для $x_2 = 14$:

$y_2 = 8 \cdot 14 = 112$

Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты (14, 112).

Проиллюстрируйте ответ с помощью схематического рисунка.

Для построения графика параболы $y = x^2 - 6x$ найдем ее вершину и точки пересечения с осями координат.
Координата $x$ вершины параболы: $x_v = -b/(2a) = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$.
Координата $y$ вершины: $y_v = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$. Вершина находится в точке $(3, -9)$.
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках, где $y=0$: $x(x-6)=0$, то есть в точках $(0, 0)$ и $(6, 0)$.
Прямая $y = 8x$ проходит через начало координат $(0, 0)$ и точку $(14, 112)$.

Ответ:

Да, парабола и прямая пересекаются. Координаты точек пересечения: $(0, 0)$ и $(14, 112)$.