Номер 837, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

837. Если в многочлен ax³ + bx² + cx + d вместо a, b, c и d подставлять числа –7, 4, –3 и 6 в каком угодно порядке, будут получаться многочлены с одной переменной, например: –7x³ + 4x² – 3x + 6, 4x³ – 7x² + 6x – 3 и т. д. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень.

Пусть $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ — это многочлен, коэффициенты $a, b, c$ и $d$ которого являются числами $-7, 4, -3$ и $6$, взятыми в произвольном порядке.

Общий корень — это такое значение переменной $x_0$, при котором любой из возможных многочленов $P(x)$ обращается в ноль, то есть $P(x_0) = 0$. Это должно выполняться независимо от того, как именно числа $-7, 4, -3$ и $6$ расставлены в качестве коэффициентов.

Проверим, может ли $x = 1$ быть таким общим корнем. Для этого подставим значение $x=1$ в общий вид многочлена:

$P(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + d$

Как видим, значение многочлена при $x=1$ равно сумме его коэффициентов. Поскольку коэффициенты $a, b, c, d$ — это всегда один и тот же набор чисел $\{-7, 4, -3, 6\}$, их сумма не зависит от порядка, в котором они присвоены коэффициентам. Вычислим эту сумму:

$a + b + c + d = (-7) + 4 + (-3) + 6 = -7 + 4 - 3 + 6 = (-7 - 3) + (4 + 6) = -10 + 10 = 0$

Таким образом, для любой перестановки чисел из набора $\{-7, 4, -3, 6\}$ в качестве коэффициентов $a, b, c, d$, значение многочлена $P(x)$ при $x=1$ всегда будет равно нулю: $P(1) = 0$.

По определению корня, это означает, что $x=1$ является корнем для каждого из таких многочленов. Следовательно, все многочлены, составленные по указанным правилам, имеют общий корень.

Ответ: Да, все такие многочлены имеют общий корень $x=1$. Это следует из того, что при подстановке $x=1$ в многочлен $ax^3 + bx^2 + cx + d$ получается сумма коэффициентов $a+b+c+d$, а сумма данных чисел $(-7) + 4 + (-3) + 6$ равна нулю, независимо от их перестановки.