Страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

836. Найдите корни многочлена

2x⁵ + x⁴ – 10x³ – 5x² + 8x + 4.

Чтобы найти корни многочлена $2x^5 + x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 8x + 4$, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное уравнение:

$2x^5 + x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 8x + 4 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем члены многочлена следующим образом:

$(2x^5 + x^4) - (10x^3 + 5x^2) + (8x + 4) = 0$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:

$x^4(2x + 1) - 5x^2(2x + 1) + 4(2x + 1) = 0$

Видим, что у всех слагаемых есть общий множитель $(2x + 1)$. Вынесем его за скобки:

$(2x + 1)(x^4 - 5x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

1) $2x + 1 = 0$

2) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Решим первое уравнение:

$2x = -1$

$x_1 = -\frac{1}{2}$

Теперь решим второе уравнение. Это биквадратное уравнение. Для его решения сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение относительно переменной $y$. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$, $y_2 = 4$

Оба корня неотрицательны, поэтому удовлетворяют условию $y \ge 0$. Теперь выполним обратную замену:

Для $y_1 = 1$:

$x^2 = 1$

$x_{2,3} = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

Для $y_2 = 4$:

$x^2 = 4$

$x_{4,5} = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_4 = 2$ и $x_5 = -2$.

Таким образом, мы нашли все пять корней исходного многочлена: $-\frac{1}{2}, 1, -1, 2, -2$.

Ответ: $-2; -1; -\frac{1}{2}; 1; 2$.

837. Если в многочлен ax³ + bx² + cx + d вместо a, b, c и d подставлять числа –7, 4, –3 и 6 в каком угодно порядке, будут получаться многочлены с одной переменной, например: –7x³ + 4x² – 3x + 6, 4x³ – 7x² + 6x – 3 и т. д. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень.

Пусть $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ — это многочлен, коэффициенты $a, b, c$ и $d$ которого являются числами $-7, 4, -3$ и $6$, взятыми в произвольном порядке.

Общий корень — это такое значение переменной $x_0$, при котором любой из возможных многочленов $P(x)$ обращается в ноль, то есть $P(x_0) = 0$. Это должно выполняться независимо от того, как именно числа $-7, 4, -3$ и $6$ расставлены в качестве коэффициентов.

Проверим, может ли $x = 1$ быть таким общим корнем. Для этого подставим значение $x=1$ в общий вид многочлена:

$P(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d = a + b + c + d$

Как видим, значение многочлена при $x=1$ равно сумме его коэффициентов. Поскольку коэффициенты $a, b, c, d$ — это всегда один и тот же набор чисел $\{-7, 4, -3, 6\}$, их сумма не зависит от порядка, в котором они присвоены коэффициентам. Вычислим эту сумму:

$a + b + c + d = (-7) + 4 + (-3) + 6 = -7 + 4 - 3 + 6 = (-7 - 3) + (4 + 6) = -10 + 10 = 0$

Таким образом, для любой перестановки чисел из набора $\{-7, 4, -3, 6\}$ в качестве коэффициентов $a, b, c, d$, значение многочлена $P(x)$ при $x=1$ всегда будет равно нулю: $P(1) = 0$.

По определению корня, это означает, что $x=1$ является корнем для каждого из таких многочленов. Следовательно, все многочлены, составленные по указанным правилам, имеют общий корень.

Ответ: Да, все такие многочлены имеют общий корень $x=1$. Это следует из того, что при подстановке $x=1$ в многочлен $ax^3 + bx^2 + cx + d$ получается сумма коэффициентов $a+b+c+d$, а сумма данных чисел $(-7) + 4 + (-3) + 6$ равна нулю, независимо от их перестановки.

838. Докажите, что многочлен x⁴ – 4x³ – 6x² – 3x + 9 не имеет отрицательных корней.

Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 3x + 9$ не имеет отрицательных корней, необходимо показать, что для любого отрицательного числа $x$ значение многочлена $P(x)$ не равно нулю. Докажем более сильное утверждение: $P(x) > 0$ для всех $x < 0$.

Пусть $x$ — произвольное отрицательное число. Тогда его можно представить в виде $x = -a$, где $a$ — некоторое положительное число ($a > 0$).

Подставим $x = -a$ в выражение для многочлена:

$P(-a) = (-a)^4 - 4(-a)^3 - 6(-a)^2 - 3(-a) + 9$

Выполним преобразования, учитывая степени отрицательного числа:

$P(-a) = a^4 - 4(-a^3) - 6(a^2) + 3a + 9$

$P(-a) = a^4 + 4a^3 - 6a^2 + 3a + 9$

Теперь нам нужно доказать, что полученное выражение $a^4 + 4a^3 - 6a^2 + 3a + 9$ всегда положительно при $a > 0$. Для этого сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат и положительные члены:

$P(-a) = (a^4 - 6a^2 + 9) + (4a^3 + 3a)$

Рассмотрим каждую из полученных групп отдельно.

1. Выражение в первых скобках, $(a^4 - 6a^2 + 9)$, представляет собой формулу квадрата разности: $(a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 3 + 3^2 = (a^2 - 3)^2$.Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то $(a^2 - 3)^2 \geq 0$ для любого значения $a$.

2. Выражение во вторых скобках — это $(4a^3 + 3a)$. Так как по нашему условию $a > 0$, то каждое слагаемое в этой сумме строго положительно:

$4a^3 > 0$

$3a > 0$

Следовательно, их сумма также строго положительна: $4a^3 + 3a > 0$.

Таким образом, мы представили $P(-a)$ в виде суммы двух слагаемых:

$P(-a) = (a^2 - 3)^2 + (4a^3 + 3a)$

Первое слагаемое $(a^2 - 3)^2$ неотрицательно, а второе слагаемое $(4a^3 + 3a)$ строго положительно. Сумма неотрицательного и строго положительного числа всегда будет строго положительным числом.Следовательно, $P(-a) > 0$ для всех $a > 0$.

Поскольку $x = -a$ и $a > 0$ описывает все возможные отрицательные числа $x$, мы доказали, что $P(x) > 0$ для всех $x < 0$. Это означает, что многочлен не может быть равен нулю при отрицательных значениях $x$, то есть не имеет отрицательных корней.

Ответ: Утверждение доказано, так как при любом отрицательном $x$ значение многочлена строго больше нуля.

839. При каком значении a сумма квадратов корней квадратного трёхчлена x² – (a – 2)x – a – 1 принимает наименьшее значение?

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного квадратного трёхчлена $x^2 - (a - 2)x - a - 1$. Нам нужно найти значение параметра $a$, при котором сумма квадратов корней, то есть выражение $x_1^2 + x_2^2$, принимает наименьшее значение.

В первую очередь, убедимся, что у трёхчлена есть действительные корни. Для этого его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.$D = b^2 - 4ac = (-(a-2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a-1) = (a-2)^2 + 4(a+1) = a^2 - 4a + 4 + 4a + 4 = a^2 + 8$.

Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $D = a^2 + 8$ всегда больше нуля. Это означает, что при любом значении $a$ уравнение имеет два различных действительных корня.

Воспользуемся теоремой Виета для приведённого квадратного уравнения.Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(a-2)) = a-2$.Произведение корней: $x_1 x_2 = -a-1$.

Теперь выразим сумму квадратов корней через сумму и произведение корней:$x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим в это выражение найденные по теореме Виета значения, выраженные через $a$. Обозначим сумму квадратов корней как функцию от $a$, $S(a)$:$S(a) = (a-2)^2 - 2(-a-1) = (a^2 - 4a + 4) + 2a + 2 = a^2 - 2a + 6$.

Задача свелась к нахождению значения $a$, при котором квадратичная функция $S(a) = a^2 - 2a + 6$ принимает наименьшее значение. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $a^2$ равен 1, что больше 0). Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы $y = Ax^2+Bx+C$ находят по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.В нашем случае $S(a) = a^2 - 2a + 6$, где $A=1$, $B=-2$.$a_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

Таким образом, сумма квадратов корней принимает наименьшее значение при $a=1$.

Ответ: $1$.

840. Докажите, что при любых значениях a, b и c график функции y = (x – a)(x – b) – c² имеет хотя бы одну общую точку с осью x.

Для того чтобы доказать, что график функции $y = (x - a)(x - b) - c^2$ имеет хотя бы одну общую точку с осью $x$ при любых значениях $a$, $b$ и $c$, необходимо показать, что уравнение $y = 0$ всегда имеет хотя бы одно действительное решение (корень).

Приравняем функцию к нулю, чтобы найти точки пересечения с осью $x$:$(x - a)(x - b) - c^2 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Чтобы это увидеть, приведем его к стандартному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$, раскрыв скобки:$x^2 - bx - ax + ab - c^2 = 0$$x^2 - (a + b)x + (ab - c^2) = 0$

Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \geq 0$. Найдем дискриминант этого уравнения, где коэффициенты равны: $A=1$, $B=-(a+b)$, $C=ab-c^2$.$D = B^2 - 4AC$$D = (-(a + b))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (ab - c^2)$$D = (a + b)^2 - 4ab + 4c^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:$D = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab + 4c^2$$D = a^2 - 2ab + b^2 + 4c^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, используя формулу квадрата разности:$D = (a - b)^2 + 4c^2$

Проанализируем полученное выражение для дискриминанта.Выражение $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a - b)^2 \geq 0$ при любых $a$ и $b$.Аналогично, выражение $c^2$ также всегда неотрицательно ($c^2 \geq 0$), а значит и $4c^2 \geq 0$ при любом $c$.Следовательно, дискриминант $D$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, поэтому он всегда неотрицателен:$D = (a - b)^2 + 4c^2 \geq 0$

Поскольку дискриминант $D$ всегда неотрицателен при любых действительных значениях параметров $a$, $b$ и $c$, то квадратное уравнение $x^2 - (a + b)x + (ab - c^2) = 0$ всегда имеет как минимум один действительный корень (один корень при $D=0$ и два корня при $D>0$). Это означает, что график функции $y = (x - a)(x - b) - c^2$ всегда имеет хотя бы одну точку пересечения с осью $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Уравнение $(x - a)(x - b) - c^2 = 0$, соответствующее точкам пересечения графика с осью $x$, имеет дискриминант $D = (a-b)^2 + 4c^2$. Так как $D$ является суммой двух квадратов, он всегда неотрицателен ($D \ge 0$) при любых значениях $a, b, c$. Следовательно, уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень, а график функции — хотя бы одну общую точку с осью $x$.

841. Постройте график функции:

а) $y = 2x^2 - 3|x| - 2$

Для построения графика данной функции, заметим, что она является четной, так как $y(-x) = 2(-x)^2 - 3|-x| - 2 = 2x^2 - 3|x| - 2 = y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

В связи с этим, мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси OY, чтобы получить полный график.

1. Построение графика для $x \ge 0$.
При $x \ge 0$, модуль раскрывается как $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = 2x^2 - 3x - 2$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$.
$y_в = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) - 2 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$.
Вершина находится в точке $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$.
Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x = 0$, $y = 2(0)^2 - 3(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
С осью OX: при $y = 0$, решаем уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{8}{4} = 2$, $x_2 = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=2$. Точка пересечения $(2, 0)$.

2. Построение полного графика.
Строим часть параболы $y = 2x^2 - 3x - 2$ для $x \ge 0$ по найденным точкам: $(0, -2)$ (пересечение с OY), $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$ (вершина), $(2, 0)$ (пересечение с OX).
Затем, используя свойство четности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY. Точка $(2,0)$ отразится в точку $(-2,0)$, а вершина $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$ отразится в точку $(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$.

График функции представлен на рисунке ниже.

842. Найдите координаты общих точек оси x и графика функции y = x² – 4x + |2x – 8|.

Чтобы найти координаты общих точек графика функции $y = x^2 - 4x + |2x - 8|$ и оси $x$, необходимо найти точки, в которых координата $y$ равна нулю. Для этого решим уравнение:

$x^2 - 4x + |2x - 8| = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения.

Случай 1: подмодульное выражение неотрицательно, $2x - 8 \ge 0$.

Это неравенство выполняется при $2x \ge 8$, то есть при $x \ge 4$. В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс: $|2x - 8| = 2x - 8$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 - 4x + (2x - 8) = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 2, а их произведение равно -8. Отсюда находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 4$.

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \ge 4$), следовательно, является решением.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию (поскольку $-2 < 4$), следовательно, он не является решением в данном случае.

Случай 2: подмодульное выражение отрицательно, $2x - 8 < 0$.

Это неравенство выполняется при $2x < 8$, то есть при $x < 4$. В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: $|2x - 8| = -(2x - 8) = -2x + 8$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$x^2 - 4x + (-2x + 8) = 0$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Отсюда находим корни: $x_3 = 2$ и $x_4 = 4$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x < 4$.

Корень $x_3 = 2$ удовлетворяет условию ($2 < 4$), следовательно, является решением.

Корень $x_4 = 4$ не удовлетворяет условию (поскольку $4$ не меньше $4$), следовательно, он не является решением в данном случае.

Объединив решения из обоих случаев, получаем две абсциссы точек пересечения графика с осью $x$: $x=2$ и $x=4$. Поскольку эти точки лежат на оси $x$, их ордината $y$ равна 0. Таким образом, координаты общих точек:

$(2, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$, $(4, 0)$.

843. При каком значении a графики функций y = x² – 7x + a и y = –3x² + 5x – 6 имеют единственную общую точку? Найдите её координаты.

Для того чтобы найти общие точки графиков двух функций, необходимо приравнять их правые части. Графики будут иметь единственную общую точку в том случае, если получившееся уравнение будет иметь ровно один корень.

Даны функции: $y = x^2 - 7x + a$ и $y = -3x^2 + 5x - 6$.

Приравниваем выражения для $y$:$x^2 - 7x + a = -3x^2 + 5x - 6$

Переносим все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:$x^2 - 7x + a + 3x^2 - 5x + 6 = 0$$(1+3)x^2 + (-7-5)x + (a+6) = 0$$4x^2 - 12x + (a+6) = 0$

Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.Для нашего уравнения коэффициенты равны: $A=4$, $B=-12$, $C=(a+6)$.

Вычисляем дискриминант:$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (a+6) = 144 - 16(a+6)$

Приравниваем дискриминант к нулю и решаем уравнение относительно $a$:$144 - 16(a+6) = 0$$144 = 16(a+6)$$a+6 = \frac{144}{16}$$a+6 = 9$$a = 9 - 6$$a = 3$

Итак, при $a=3$ графики функций имеют одну общую точку. Теперь найдем ее координаты. Сначала определим абсциссу ($x$) этой точки. Корень уравнения при $D=0$ можно найти по формуле $x = -\frac{B}{2A}$.$x = -\frac{-12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

Чтобы найти ординату ($y$), подставим найденное значение $x=1.5$ в уравнение любой из исходных функций. Для проверки можно подставить в обе.

1. Используем первую функцию $y = x^2 - 7x + a$ при $a=3$:$y = (1.5)^2 - 7(1.5) + 3 = 2.25 - 10.5 + 3 = -5.25$

2. Используем вторую функцию $y = -3x^2 + 5x - 6$:$y = -3(1.5)^2 + 5(1.5) - 6 = -3(2.25) + 7.5 - 6 = -6.75 + 7.5 - 6 = 0.75 - 6 = -5.25$

Оба значения совпали. Координаты общей точки: $(1.5; -5.25)$.

Ответ: при $a=3$ графики функций имеют единственную общую точку с координатами $(1.5; -5.25)$.

844. Докажите, что многочлен x⁸ + x⁶ – 4x⁴ + x² + 1 не принимает отрицательных значений.

Для доказательства того, что многочлен $P(x) = x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1$ не принимает отрицательных значений, необходимо показать, что $P(x) \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Поскольку многочлен содержит только четные степени переменной $x$, мы можем сделать замену $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$. Подставив $y = x^2$ в исходный многочлен, получим многочлен от переменной $y$:

$Q(y) = y^4 + y^3 - 4y^2 + y + 1$

Наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что $Q(y) \ge 0$ для всех $y \ge 0$. Для этого разложим многочлен $Q(y)$ на множители. Сгруппируем его члены следующим образом, чтобы выделить известные формулы:

$Q(y) = (y^4 - 2y^2 + 1) + (y^3 - 2y^2 + y)$

Первая группа слагаемых является полным квадратом разности $(y^2 - 1)$:

$y^4 - 2y^2 + 1 = (y^2 - 1)^2$

Во второй группе слагаемых вынесем общий множитель $y$ за скобки. Выражение в скобках также является полным квадратом:

$y^3 - 2y^2 + y = y(y^2 - 2y + 1) = y(y - 1)^2$

Теперь многочлен $Q(y)$ можно записать в виде суммы двух слагаемых:

$Q(y) = (y^2 - 1)^2 + y(y - 1)^2$

Применим формулу разности квадратов к первому слагаемому: $(y^2-1)^2 = ((y-1)(y+1))^2 = (y-1)^2(y+1)^2$. Подставим это в выражение для $Q(y)$:

$Q(y) = (y-1)^2(y+1)^2 + y(y-1)^2$

Вынесем общий множитель $(y-1)^2$ за скобки:

$Q(y) = (y-1)^2 [(y+1)^2 + y]$

Раскроем скобки внутри квадратных скобок и упростим выражение:

$Q(y) = (y-1)^2 [ (y^2 + 2y + 1) + y ] = (y-1)^2(y^2 + 3y + 1)$

Мы представили $Q(y)$ в виде произведения двух множителей: $(y-1)^2$ и $(y^2 + 3y + 1)$. Теперь проанализируем знак каждого из них при условии $y \ge 0$.

1. Множитель $(y-1)^2$. Это квадрат действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(y-1)^2 \ge 0$ для любого $y$.

2. Множитель $(y^2 + 3y + 1)$. Поскольку мы рассматриваем случай $y \ge 0$, то каждое слагаемое в этом выражении неотрицательно: $y^2 \ge 0$ и $3y \ge 0$. Следовательно, их сумма с положительной единицей будет строго положительной: $y^2 + 3y + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1 > 0$.

Таким образом, многочлен $Q(y)$ является произведением неотрицательного множителя $(y-1)^2$ и строго положительного множителя $(y^2 + 3y + 1)$. Такое произведение всегда неотрицательно, то есть $Q(y) \ge 0$ для всех $y \ge 0$.

Так как $P(x) = Q(x^2)$ и $x^2$ всегда удовлетворяет условию $x^2 \ge 0$, мы можем заключить, что $P(x) \ge 0$ для всех действительных значений $x$. Это доказывает, что исходный многочлен не принимает отрицательных значений.

Ответ: Утверждение доказано. Многочлен $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1$ можно представить в виде $(x^2-1)^2(x^4+3x^2+1)$, где оба множителя являются неотрицательными при любых действительных $x$, следовательно, их произведение также неотрицательно.

845. При каких значениях m квадратный трёхчлен

mx² + (m – 1)x + m – 1

принимает только отрицательные значения?

Для того чтобы квадратный трёхчлен $f(x) = mx^2 + (m-1)x + m-1$ принимал только отрицательные значения, необходимо, чтобы неравенство $f(x) < 0$ выполнялось для всех действительных значений $x$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $m$.

Случай 1: $m=0$

Если $m=0$, то выражение становится линейной функцией: $f(x) = (0-1)x + (0-1) = -x - 1$. Графиком является прямая линия. Область значений этой функции — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$, поэтому она не может принимать только отрицательные значения. Следовательно, $m=0$ не является решением.

Случай 2: $m \neq 0$

В этом случае $f(x)$ является квадратичной функцией, графиком которой является парабола. Чтобы парабола целиком лежала ниже оси абсцисс (то есть $f(x) < 0$ для всех $x$), должны одновременно выполняться два условия:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент должен быть отрицательным: $a = m < 0$.

2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс, то есть квадратное уравнение $mx^2 + (m-1)x + m-1 = 0$ не должно иметь действительных корней. Это означает, что его дискриминант $D$ должен быть строго отрицательным: $D < 0$.

Найдём дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (m-1)^2 - 4 \cdot m \cdot (m-1)$.

Теперь решим неравенство $D < 0$:$(m-1)^2 - 4m(m-1) < 0$

Вынесем общий множитель $(m-1)$:$(m-1)((m-1)-4m) < 0$$(m-1)(-3m-1) < 0$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства:$(m-1)(3m+1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $(m-1)(3m+1)=0$ равны $m=1$ и $m=-1/3$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Поскольку парабола $y=(m-1)(3m+1)$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется на интервалах левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства $D<0$ есть $m \in (-\infty; -1/3) \cup (1; \infty)$.

Теперь нам нужно найти значения $m$, которые удовлетворяют обоим условиям ( $m<0$ и $D<0$ ) одновременно. Составим систему неравенств:$\begin{cases}m < 0 \\m \in (-\infty; -1/3) \cup (1; \infty)\end{cases}$

Найдём пересечение множеств $(-\infty; 0)$ и $(-\infty; -1/3) \cup (1; \infty)$. Очевидно, что пересечением является интервал $(-\infty; -1/3)$.

Ответ: $m \in (-\infty; -1/3)$.