Страница 206 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

816. Функция y = f (x), областью определения которой является промежуток [–4; 5], задана графиком (рис. 73). Каково множество значений функции? Найдите f(–3), f(–1,5), f(–1), f(1), f(3,5). Найдите координаты точек, в которых график функции пересекает оси координат.

Поскольку в задании не приведен график функции (рис. 73), для предоставления развернутого решения воспользуемся гипотетическим графиком, который мог бы соответствовать такому заданию. Все последующие выводы сделаны на основе этого предполагаемого графика.

Каково множество значений функции?

Множество значений функции (или область значений) — это все значения, которые принимает зависимая переменная $y$ для всех значений аргумента $x$ из области определения. В данном случае область определения — это промежуток $[-4; 5]$.

Чтобы найти множество значений по графику, необходимо определить самое низкое и самое высокое положение точек графика, то есть найти наименьшее ($y_{min}$) и наибольшее ($y_{max}$) значения функции на всей области определения.

Анализируя (гипотетический) график, находим, что:

• Наименьшее значение функции $y_{min} = -2$.
• Наибольшее значение функции $y_{max} = 5$.

Поскольку график представляет собой непрерывную линию, функция принимает все значения между наименьшим и наибольшим. Таким образом, множество значений функции — это промежуток $[-2; 5]$.

Ответ: $E(f) = [-2; 5]$.

Найдите f(-3), f(-1,5), f(-1), f(1), f(3,5).

Чтобы найти значение функции в конкретной точке, например $f(a)$, нужно найти на оси абсцисс (горизонтальной оси) значение $x = a$, затем найти точку на графике с этой абсциссой и определить ее ординату (значение по вертикальной оси).

• $f(-3)$: Находим $x = -3$ на оси абсцисс. Соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -2$. Значит, $f(-3) = -2$.
• $f(-1,5)$: Находим $x = -1,5$. Точка на графике с этой абсциссой лежит на самой оси абсцисс, поэтому ее ордината равна 0. Значит, $f(-1,5) = 0$.
• $f(-1)$: Находим $x = -1$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $y = 3$. Значит, $f(-1) = 3$.
• $f(1)$: Находим $x = 1$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $y = 1$. Значит, $f(1) = 1$.
• $f(3,5)$: Находим $x = 3,5$. Соответствующая точка на графике имеет ординату $y = -1$. Значит, $f(3,5) = -1$.

Ответ: $f(-3) = -2$; $f(-1,5) = 0$; $f(-1) = 3$; $f(1) = 1$; $f(3,5) = -1$.

Найдите координаты точек, в которых график функции пересекает оси координат.

Точки пересечения графика с осями координат — это точки, в которых график "проходит" через ось $Ox$ или ось $Oy$.

Пересечение с осью ординат (осью $Oy$):
График пересекает ось ординат в точке, где абсцисса $x = 0$. По графику находим значение функции при $x=0$. В нашем случае, $f(0) = 2,5$. Таким образом, координаты точки пересечения с осью $Oy$ равны $(0; 2,5)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью $Ox$):
График пересекает ось абсцисс в точках, где ордината $y = 0$. Эти точки также называют нулями функции. По графику видно, что $y=0$ при $x = -1,5$ и при $x = 2,5$. Таким образом, координаты точек пересечения с осью $Ox$ равны $(-1,5; 0)$ и $(2,5; 0)$.

Ответ: точка пересечения с осью ординат: $(0; 2,5)$; точки пересечения с осью абсцисс: $(-1,5; 0)$ и $(2,5; 0)$.

817. Найдите по графику функции y = f(x) (рис. 73) значения аргумента, при которых:

а) Чтобы найти значения аргумента, при которых $f(x) = 0$, нужно определить абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графика функции с осью абсцисс ($Ox$). По графику на рисунке 73 видно, что функция пересекает ось $x$ в трех точках.

Координаты этих точек:

$x_1 = -2,5$

$x_2 = 2$

$x_3 = 4$

Ответ: $-2,5; 2; 4$.

б) Чтобы найти значения аргумента, при которых $f(x) > 0$, нужно определить промежутки по оси $x$, на которых график функции расположен выше оси абсцисс. Из графика видно, что это происходит на двух интервалах:

1. От $x = -2,5$ до $x = 2$.
2. При $x > 4$.

Объединяя эти промежутки, получаем решение.

Ответ: $x \in (-2,5; 2) \cup (4; +\infty)$.

в) Чтобы найти значения аргумента, при которых $f(x) < 0$, нужно определить промежутки по оси $x$, на которых график функции расположен ниже оси абсцисс. Из графика видно, что это происходит на двух интервалах:

1. При $x < -2,5$.
2. От $x = 2$ до $x = 4$.

Объединяя эти промежутки, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -2,5) \cup (2; 4)$.

818. Ломаная ABCDE является графиком функции y = f(x) (рис. 74). На каких промежутках эта функция принимает положительные значения и на каких — отрицательные?

Чтобы определить, на каких промежутках функция $y = f(x)$ принимает положительные или отрицательные значения, необходимо проанализировать ее график. Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график находится выше оси абсцисс ($Ox$), и отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси абсцисс.

В первую очередь найдем точки, в которых график пересекает ось $Ox$. В этих точках значение функции равно нулю ($y = 0$). По графику на рисунке 74 определяем координаты этих точек пересечения:

• На отрезке $AB$ график пересекает ось $x$ в точке $x = -2.2$.
• На отрезке $BC$ график пересекает ось $x$ в точке $x = 0.5$.
• На отрезке $CD$ график пересекает ось $x$ в точке $x = 1.5$.
• На отрезке $DE$ график пересекает ось $x$ в точке $x = 3.5$.

Эти точки (нули функции) делят область определения функции на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет свой знак.

На каких промежутках эта функция принимает положительные значения

Ищем промежутки, где график функции $y = f(x)$ расположен выше оси $Ox$.

Из графика видно, что это происходит на следующих участках:

1. От начальной точки $A(x=-3)$ до точки пересечения с осью $x=-2.2$. В точке $x=-3$ значение функции $y=2$ (положительное), поэтому этот конец промежутка включается. В точке $x=-2.2$ значение $y=0$, поэтому точка исключается. Получаем промежуток $[-3; -2.2)$.
2. Между точками пересечения $x = 0.5$ и $x = 1.5$. На этом интервале график находится над осью. Получаем промежуток $(0.5; 1.5)$.
3. От точки пересечения $x = 3.5$ до конечной точки $E(x=5)$. В точке $x=5$ значение функции $y=3$ (положительное), поэтому этот конец промежутка включается. Получаем промежуток $(3.5; 5]$.

Объединяя все эти промежутки, получаем итоговый результат.

Ответ: $y > 0$ при $x \in [-3; -2.2) \cup (0.5; 1.5) \cup (3.5; 5]$.

На каких промежутках эта функция принимает отрицательные значения

Ищем промежутки, где график функции $y = f(x)$ расположен ниже оси $Ox$.

Из графика видно, что это происходит на следующих участках:

1. Между точками пересечения $x = -2.2$ и $x = 0.5$. На этом интервале график находится под осью. Получаем промежуток $(-2.2; 0.5)$.
2. Между точками пересечения $x = 1.5$ и $x = 3.5$. На этом интервале график также находится под осью. Получаем промежуток $(1.5; 3.5)$.

Объединяя эти промежутки, получаем итоговый результат.

Ответ: $y < 0$ при $x \in (-2.2; 0.5) \cup (1.5; 3.5)$.

819. Постройте график функции:

а) $y = -2,5x$

Данная функция является линейной вида $y=kx$, её график — прямая линия, проходящая через начало координат. Таким образом, одна точка у нас уже есть: $(0, 0)$.

Для построения прямой достаточно найти координаты ещё одной точки. Выберем произвольное значение $x$, например, $x = 2$.

Подставим $x=2$ в уравнение функции: $y = -2,5 \cdot 2 = -5$.

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(2, -5)$.

Теперь строим на координатной плоскости точки $(0, 0)$ и $(2, -5)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = -2,5x$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, -5)$.

б) $y = 2x - 3$

Данная функция является линейной вида $y=kx+b$, её график — прямая линия. Для построения прямой найдём координаты двух любых её точек.

Возьмём $x = 0$. Тогда $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Первая точка — $(0, -3)$.

Возьмём $x = 2$. Тогда $y = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Вторая точка — $(2, 1)$.

Строим на координатной плоскости точки $(0, -3)$ и $(2, 1)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = 2x - 3$ — это прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(2, 1)$.

в) $y = -5$

Это частный случай линейной функции, где угловой коэффициент $k=0$. График такой функции — это прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$) и проходящая через точку с ординатой, равной свободному члену.

В данном случае, для любого значения $x$ значение $y$ всегда будет равно $-5$.

График — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, -5)$.

Ответ: График функции $y = -5$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -5)$.

г) $y = -x + 4$

Это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения удобно найти точки пересечения графика с осями координат.

Для нахождения точки пересечения с осью ординат ($Oy$), положим $x = 0$:
$y = -0 + 4 = 4$. Точка пересечения с $Oy$ — $(0, 4)$.

Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс ($Ox$), положим $y = 0$:
$0 = -x + 4 \implies x = 4$. Точка пересечения с $Ox$ — $(4, 0)$.

Строим на координатной плоскости точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = -x + 4$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$.

д) $y = \frac{1}{2}x + 3$

Это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения графика найдём координаты двух точек.

При $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 3 = 3$. Первая точка — $(0, 3)$.

Чтобы получить целочисленные координаты, выберем значение $x$, кратное 2. Например, $x = 2$.
$y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 3 = 1 + 3 = 4$. Вторая точка — $(2, 4)$.

Строим на координатной плоскости точки $(0, 3)$ и $(2, 4)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x + 3$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(2, 4)$.

е) $y = \frac{2-x}{4}$

Преобразуем уравнение функции к стандартному виду линейной функции $y = kx + b$:

$y = \frac{2}{4} - \frac{x}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}x = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$.

График — прямая линия. Для построения найдём координаты двух точек. Будем выбирать значения $x$ так, чтобы было удобно считать.

При $x = 2$, $y = \frac{2-2}{4} = \frac{0}{4} = 0$. Первая точка — $(2, 0)$.

При $x = -2$, $y = \frac{2-(-2)}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Вторая точка — $(-2, 1)$.

Строим на координатной плоскости точки $(2, 0)$ и $(-2, 1)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = \frac{2-x}{4}$ — это прямая, проходящая через точки $(2, 0)$ и $(-2, 1)$.

820. Функция y = f(x) задана формулой y=$\frac{6-2x}{3}.$ При каких значениях аргумента x:

а) f(x) = 0;

б) f(x) ‹ 0;

в) f(x) ≥ 0?

Постройте график этой функции.

а) f(x) = 0;
Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция равна нулю, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$. Подставим формулу функции: $\frac{6-2x}{3} = 0$. Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель 3 не равен нулю, поэтому решаем уравнение $6 - 2x = 0$. Перенесем $2x$ в правую часть: $6 = 2x$. Разделим обе части на 2: $x = 3$.
Ответ: $x = 3$.

б) f(x) < 0;
Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $f(x) < 0$. Подставим формулу функции: $\frac{6-2x}{3} < 0$. Так как знаменатель 3 — положительное число, мы можем умножить обе части неравенства на 3, не меняя знака неравенства: $6 - 2x < 0$. Перенесем $2x$ в правую часть: $6 < 2x$. Разделим обе части на 2: $3 < x$, что то же самое, что $x > 3$.
Ответ: $x > 3$.

в) f(x) ? 0?
Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция принимает неотрицательные значения, необходимо решить неравенство $f(x) \ge 0$. Подставим формулу функции: $\frac{6-2x}{3} \ge 0$. Умножим обе части неравенства на положительное число 3, сохраняя знак неравенства: $6 - 2x \ge 0$. Перенесем $2x$ в правую часть: $6 \ge 2x$. Разделим обе части на 2: $3 \ge x$, что то же самое, что $x \le 3$.
Ответ: $x \le 3$.

Постройте график этой функции.
Функция $y = f(x) = \frac{6-2x}{3}$ является линейной. Для удобства построения преобразуем её к стандартному виду $y = kx + b$: $y = \frac{6}{3} - \frac{2x}{3} = 2 - \frac{2}{3}x$. Таким образом, $y = -\frac{2}{3}x + 2$. Графиком этой функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат.
1. Точка пересечения с осью ординат (Oy), где $x=0$: $y = -\frac{2}{3}(0) + 2 = 2$. Координаты точки: $(0; 2)$.
2. Точка пересечения с осью абсцисс (Ox), где $y=0$: $0 = -\frac{2}{3}x + 2$. Отсюда $\frac{2}{3}x = 2$, и $x = 3$. Координаты точки: $(3; 0)$.
Чтобы построить график, нужно начертить систему координат, отметить точки $(0; 2)$ и $(3; 0)$ и провести через них прямую.
Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(3; 0)$.

821. Какие из линейных функций y = –3x + 9, y = 5x, y = –7, y = 9x – 1, y = –x – 100, y = 1 + 5x являются:

а) возрастающими;

б) убывающими?

Для определения, является ли линейная функция, заданная формулой $y = kx + b$, возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать знак её углового коэффициента $k$.

• Если угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей.
• Если угловой коэффициент $k < 0$, функция является убывающей.
• Если угловой коэффициент $k = 0$, функция является постоянной (не возрастает и не убывает).

а) возрастающими;

Возрастающими являются функции с положительным угловым коэффициентом ($k > 0$). Проанализируем каждую функцию из списка:

• $y = 5x$: коэффициент $k = 5$. Так как $5 > 0$, функция возрастающая.
• $y = 9x - 1$: коэффициент $k = 9$. Так как $9 > 0$, функция возрастающая.
• $y = 1 + 5x$: эту функцию можно представить в виде $y = 5x + 1$. Коэффициент $k = 5$. Так как $5 > 0$, функция возрастающая.

Ответ: $y = 5x$, $y = 9x - 1$, $y = 1 + 5x$.

б) убывающими?

Убывающими являются функции с отрицательным угловым коэффициентом ($k < 0$). Проанализируем каждую функцию из списка:

• $y = -3x + 9$: коэффициент $k = -3$. Так как $-3 < 0$, функция убывающая.
• $y = -x - 100$: эту функцию можно представить в виде $y = -1x - 100$. Коэффициент $k = -1$. Так как $-1 < 0$, функция убывающая.

Функция $y = -7$ является постоянной, так как её можно записать в виде $y = 0x - 7$, где $k=0$. Она не является ни возрастающей, ни убывающей.

Ответ: $y = -3x + 9$, $y = -x - 100$.