Страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

881. Докажите, что при положительных значениях a, b и с верно неравенство

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Согласно ему, для любых неотрицательных чисел их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического.

Рассмотрим выражение в первой скобке в числителе: $a^2 + a + 1$. Поскольку по условию $a > 0$, то числа $a^2$, $a$ и $1$ являются положительными. Применим для них неравенство Коши для трех чисел:

$$ \frac{a^2 + a + 1}{3} \geq \sqrt[3]{a^2 \cdot a \cdot 1} $$

Упростим правую часть неравенства:

$$ \frac{a^2 + a + 1}{3} \geq \sqrt[3]{a^3} $$

$$ \frac{a^2 + a + 1}{3} \geq a $$

Домножим обе части на 3 (знак неравенства не изменится, так как 3 > 0):

$$ a^2 + a + 1 \geq 3a $$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда все числа, для которых применялось неравенство Коши, равны между собой, то есть $a^2 = a = 1$, что выполняется при $a=1$.

Аналогичные неравенства можно записать и для переменных $b$ и $c$, так как они тоже положительны:

$$ b^2 + b + 1 \geq 3b $$

$$ c^2 + c + 1 \geq 3c $$

Поскольку левые и правые части всех трех неравенств ($a^2 + a + 1 \geq 3a$, $b^2 + b + 1 \geq 3b$, $c^2 + c + 1 \geq 3c$) положительны, мы можем их перемножить:

$$ (a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1) \geq (3a)(3b)(3c) $$

$$ (a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1) \geq 27abc $$

Так как по условию $a, b, c$ — положительные числа, то их произведение $abc > 0$. Разделим обе части полученного неравенства на $abc$, при этом знак неравенства сохранится:

$$ \frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc} \geq 27 $$

Неравенство доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Для доказательства было использовано неравенство Коши для трех положительных чисел, примененное последовательно для каждой из скобок в числителе исходного выражения.

882. Найдите при любом натуральном n значение выражения

Для решения задачи преобразуем выражения в числителе и знаменателе дроби, находящейся под знаком корня.

1. Рассмотрим числитель.

Выражение в числителе представляет собой сумму: $1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n$.

Заметим, что каждый член этой суммы можно представить через номер члена $k$ (где $k$ изменяется от $1$ до $n$). Общий вид k-го члена суммы: $k \cdot (2k) \cdot (4k)$.

Преобразуем это выражение: $k \cdot 2k \cdot 4k = 8k^3$.

Тогда всю сумму в числителе можно записать следующим образом, вынеся общий множитель 8 за скобки:

$1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n = 8 \cdot 1^3 + 8 \cdot 2^3 + \dots + 8 \cdot n^3 = 8(1^3 + 2^3 + \dots + n^3)$.

Используя знак суммирования, это можно записать как $8 \sum_{k=1}^{n} k^3$.

2. Рассмотрим знаменатель.

Выражение в знаменателе представляет собой сумму: $1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n$.

Общий вид k-го члена этой суммы: $k \cdot (3k) \cdot (9k)$.

Преобразуем это выражение: $k \cdot 3k \cdot 9k = 27k^3$.

Тогда всю сумму в знаменателе можно записать, вынеся общий множитель 27 за скобки:

$1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n = 27 \cdot 1^3 + 27 \cdot 2^3 + \dots + 27 \cdot n^3 = 27(1^3 + 2^3 + \dots + n^3)$.

Используя знак суммирования, это можно записать как $27 \sum_{k=1}^{n} k^3$.

3. Подставим преобразованные выражения в исходное.

Теперь подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходное выражение под знаком кубического корня:

$\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n}{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n}} = \sqrt[3]{\frac{8(1^3 + 2^3 + \dots + n^3)}{27(1^3 + 2^3 + \dots + n^3)}}$

Поскольку $n$ является натуральным числом, сумма $1^3 + 2^3 + \dots + n^3$ всегда положительна и не равна нулю. Следовательно, мы можем сократить дробь на общий множитель $(1^3 + 2^3 + \dots + n^3)$.

После сокращения получаем:

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

Вычисляем значение кубического корня:

$\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$

Таким образом, значение данного выражения не зависит от натурального числа $n$ и всегда равно $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

883. Докажите, что значение выражения

(5 + 10ⁿ ⁺ ¹ + 1)(1 + 10 + ... + 10ⁿ) + 1

при любом натуральном n можно представить в виде квадрата натурального числа.

Для доказательства преобразуем данное выражение. Обозначим его за $A$: $A = (5 + 10^{n+1})(1 + 10 + \dots + 10^n) + 1$

Вторая скобка представляет собой сумму $n+1$ членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$ и знаменатель $q = 10$. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S_k = \frac{b_1(q^k - 1)}{q - 1}$. В нашем случае количество членов $k = n+1$.

$1 + 10 + \dots + 10^n = \frac{1 \cdot (10^{n+1} - 1)}{10 - 1} = \frac{10^{n+1} - 1}{9}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение для $A$: $A = (5 + 10^{n+1}) \cdot \frac{10^{n+1} - 1}{9} + 1$

Чтобы упростить дальнейшие выкладки, введем временную замену. Пусть $x = 10^{n+1}$. Тогда выражение примет вид: $A = (5 + x) \cdot \frac{x - 1}{9} + 1$

Выполним алгебраические преобразования, приводя всё к общему знаменателю: $A = \frac{(5 + x)(x - 1)}{9} + \frac{9}{9} = \frac{5x - 5 + x^2 - x + 9}{9} = \frac{x^2 + 4x + 4}{9}$

Мы видим, что числитель дроби является формулой квадрата суммы: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Следовательно, выражение для $A$ можно записать в виде: $A = \frac{(x+2)^2}{9} = \left(\frac{x+2}{3}\right)^2$

Произведем обратную замену, подставив $x = 10^{n+1}$: $A = \left(\frac{10^{n+1} + 2}{3}\right)^2$

Мы представили исходное выражение в виде квадрата некоторого числа. Теперь осталось доказать, что это число является натуральным. Для этого необходимо показать, что $\frac{10^{n+1} + 2}{3}$ является целым и положительным числом при любом натуральном $n$.

Проверим делимость числителя $10^{n+1} + 2$ на 3. Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Число $10^{n+1}$ — это 1 с $n+1$ нулями ($100\dots0$). Сумма его цифр равна 1. Число $10^{n+1} + 2$ имеет вид $100\dots02$ (между 1 и 2 стоит $n$ нулей). Сумма цифр этого числа равна $1 + \underbrace{0 + \dots + 0}_{n \text{ раз}} + 2 = 3$. Поскольку сумма цифр (3) делится на 3, то и само число $10^{n+1} + 2$ делится на 3 без остатка при любом натуральном $n$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $10^{n+1} + 2$ всегда будет положительным числом. Значит, частное $\frac{10^{n+1} + 2}{3}$ является натуральным числом.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение при любом натуральном $n$ можно представить в виде квадрата натурального числа. Что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное выражение равно $\left(\frac{10^{n+1} + 2}{3}\right)^2$. Так как при любом натуральном $n$ число $10^{n+1} + 2$ делится на 3, то выражение $\frac{10^{n+1} + 2}{3}$ является натуральным числом. Следовательно, исходное выражение всегда является квадратом натурального числа.

884. Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое после умножения на 21 станет квадратом натурального числа.

Пусть искомое наименьшее четырёхзначное число равно $x$. По условию, $x$ является четырёхзначным, то есть $1000 \le x \le 9999$.

Произведение этого числа на 21 должно быть квадратом натурального числа. Обозначим этот квадрат как $n^2$, где $n$ — натуральное число. Таким образом, мы получаем уравнение:

$21x = n^2$

Для того чтобы число было полным квадратом, все простые множители в его каноническом разложении должны иметь чётные степени. Разложим число 21 на простые множители:

$21 = 3^1 \cdot 7^1$

Подставим это разложение в наше уравнение:

$3^1 \cdot 7^1 \cdot x = n^2$

Из этого равенства следует, что для того, чтобы произведение стало полным квадратом, в разложении числа $x$ на простые множители должны содержаться множители 3 и 7 в нечётных степенях (чтобы в итоге их степени стали чётными). Все остальные простые множители в разложении $x$ должны быть в чётных степенях. Это означает, что $x$ можно представить в виде:

$x = 3 \cdot 7 \cdot k^2$

где $k$ — некоторое натуральное число. Упростим выражение для $x$:

$x = 21k^2$

Теперь нам необходимо найти такое наименьшее натуральное $k$, при котором $x$ будет наименьшим четырёхзначным числом. Для этого $x$ должен удовлетворять условию $x \ge 1000$.

$21k^2 \ge 1000$

Разделим обе части неравенства на 21:

$k^2 \ge \frac{1000}{21}$

$k^2 \ge 47.619...$

Теперь найдём наименьшее натуральное число $k$, квадрат которого больше или равен 47.619....

Проверим квадраты последовательных натуральных чисел:

• $6^2 = 36$ (не удовлетворяет, так как $36 < 47.619...$)
• $7^2 = 49$ (удовлетворяет, так как $49 > 47.619...$)

Следовательно, наименьшее натуральное значение $k$, удовлетворяющее условию, равно 7.

Теперь мы можем найти искомое число $x$, подставив $k=7$ в нашу формулу:

$x = 21 \cdot 7^2 = 21 \cdot 49 = 1029$

Число 1029 является четырёхзначным. Проверим, будет ли его произведение с 21 полным квадратом:

$1029 \cdot 21 = (21 \cdot 49) \cdot 21 = 21^2 \cdot 7^2 = (21 \cdot 7)^2 = 147^2 = 21609$

Таким образом, наименьшее четырёхзначное число, которое при умножении на 21 даёт полный квадрат, — это 1029.

Ответ: 1029.

885. Трёхзначное число x, кратное 5, можно представить в виде суммы куба и квадрата одного и того же натурального числа. Найдите число x.

Пусть $x$ — искомое трёхзначное число, а $n$ — натуральное число, о котором говорится в условии. Согласно условию, число $x$ можно представить в виде суммы куба и квадрата числа $n$: $x = n^3 + n^2$

Выражение для $x$ можно разложить на множители для удобства вычислений: $x = n^2(n+1)$

Известно, что $x$ — это трёхзначное число, что означает $100 \le x \le 999$. Найдём, при каких натуральных значениях $n$ это условие выполняется. Проверим граничные значения $n$:

• При $n=4$, $x = 4^2(4+1) = 16 \cdot 5 = 80$ (ещё двузначное число).
• При $n=5$, $x = 5^2(5+1) = 25 \cdot 6 = 150$ (первое подходящее трёхзначное число).
• При $n=9$, $x = 9^2(9+1) = 81 \cdot 10 = 810$ (всё ещё трёхзначное число).
• При $n=10$, $x = 10^2(10+1) = 100 \cdot 11 = 1100$ (уже четырёхзначное число).

Следовательно, искомые значения $n$ находятся в диапазоне от 5 до 9 включительно.

Также по условию задачи число $x$ кратно 5. Произведение $x = n^2(n+1)$ будет кратно 5 в том случае, если хотя бы один из множителей ($n$ или $n+1$) будет кратен 5 (поскольку 5 — простое число, то кратность $n^2$ пяти равносильна кратности $n$ пяти).

Проверим все возможные значения $n$ из диапазона $[5, 6, 7, 8, 9]$:

• Для $n=5$: число $n$ кратно 5. Вычисляем $x = 150$. Это число является трёхзначным и кратным 5, поэтому оно удовлетворяет всем условиям.
• Для $n=6$: ни само число $n=6$, ни $n+1=7$ не кратны 5.
• Для $n=7$: ни само число $n=7$, ни $n+1=8$ не кратны 5.
• Для $n=8$: ни само число $n=8$, ни $n+1=9$ не кратны 5.
• Для $n=9$: число $n+1=10$ кратно 5. Вычисляем $x = 810$. Это число также является трёхзначным и кратным 5, поэтому оно тоже удовлетворяет всем условиям.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют два числа: 150 и 810.

Ответ: 150, 810.

886. Взяли два различных натуральных числа. Эти числа сложили, перемножили, вычли из большего данного числа меньшее и разделили большее на меньшее. Оказалось, что сумма всех четырёх результатов равна 441. Найдите эти числа.

Пусть даны два различных натуральных числа. Обозначим большее из них через $a$, а меньшее через $b$. По условию, $a, b \in \mathbb{N}$ и $a > b$.

С этими числами выполнили четыре действия:

1. Сложение: $a+b$
2. Перемножение: $ab$
3. Вычитание из большего меньшего: $a-b$
4. Деление большего на меньшее: $\frac{a}{b}$

Сумма всех четырёх результатов равна 441. Составим уравнение на основе этого условия:

$(a+b) + ab + (a-b) + \frac{a}{b} = 441$

Упростим левую часть уравнения, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$a + b + ab + a - b + \frac{a}{b} = 441$

$2a + ab + \frac{a}{b} = 441$

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, то $2a$ и $ab$ являются целыми числами. Чтобы их сумма с $\frac{a}{b}$ была целым числом (441), необходимо, чтобы слагаемое $\frac{a}{b}$ также было целым числом. Это означает, что число $a$ должно делиться нацело на $b$.

Введем новую переменную $k$, которая будет представлять собой результат деления $a$ на $b$:

$\frac{a}{b} = k$, где $k$ — натуральное число.

Отсюда $a = kb$. Так как по условию числа $a$ и $b$ различны и $a > b$, то $k$ должно быть целым числом, большим 1, то есть $k \ge 2$.

Подставим $a=kb$ в наше упрощенное уравнение:

$2(kb) + (kb)b + \frac{kb}{b} = 441$

$2kb + kb^2 + k = 441$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки в левой части уравнения:

$k(2b + b^2 + 1) = 441$

Выражение в скобках $b^2 + 2b + 1$ является полным квадратом суммы $(b+1)^2$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$k(b+1)^2 = 441$

Теперь нам нужно найти натуральные числа $b \ge 1$ и $k \ge 2$, которые удовлетворяют этому уравнению. Для этого разложим число 441 на простые множители:

$441 = 21 \times 21 = (3 \times 7) \times (3 \times 7) = 3^2 \times 7^2$

Из уравнения $k(b+1)^2 = 441$ следует, что $(b+1)^2$ должно быть делителем числа 441, который является точным квадратом. Найдем все такие делители: $1^2=1$, $3^2=9$, $7^2=49$, $21^2=441$.

Рассмотрим все возможные случаи для $(b+1)^2$:

• Случай 1: $(b+1)^2 = 1$.
  Тогда $b+1 = 1 \Rightarrow b = 0$. Но $b$ — натуральное число, поэтому этот случай невозможен.
• Случай 2: $(b+1)^2 = 9$.
  Тогда $b+1 = 3 \Rightarrow b = 2$. Это допустимое значение для $b$. Найдем соответствующее значение $k$:
  $k \cdot 9 = 441 \Rightarrow k = \frac{441}{9} = 49$.
  Значение $k=49$ удовлетворяет условию $k \ge 2$. Теперь найдем $a$:
  $a = kb = 49 \cdot 2 = 98$.
  Получили пару чисел (2, 98). Проверим их: $98+2=100$, $98 \cdot 2=196$, $98-2=96$, $98/2=49$. Сумма: $100+196+96+49=441$. Решение верное.
• Случай 3: $(b+1)^2 = 49$.
  Тогда $b+1 = 7 \Rightarrow b = 6$. Это допустимое значение для $b$. Найдем соответствующее значение $k$:
  $k \cdot 49 = 441 \Rightarrow k = \frac{441}{49} = 9$.
  Значение $k=9$ удовлетворяет условию $k \ge 2$. Теперь найдем $a$:
  $a = kb = 9 \cdot 6 = 54$.
  Получили пару чисел (6, 54). Проверим их: $54+6=60$, $54 \cdot 6=324$, $54-6=48$, $54/6=9$. Сумма: $60+324+48+9=441$. Решение верное.
• Случай 4: $(b+1)^2 = 441$.
  Тогда $b+1 = 21 \Rightarrow b = 20$. Это допустимое значение для $b$. Найдем соответствующее значение $k$:
  $k \cdot 441 = 441 \Rightarrow k = 1$.
  Это значение не удовлетворяет условию $k \ge 2$, так как при $k=1$ числа $a$ и $b$ были бы равны ($a=1 \cdot b \Rightarrow a=b$), что противоречит условию задачи о различных числах.

Таким образом, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: искомые числа это 2 и 98, или 6 и 54.

887. Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45.

Пусть искомые натуральные числа — это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, $x, y \in \mathbb{N}$ и разность их квадратов равна 45. Запишем это математически:

$x^2 - y^2 = 45$

Так как разность положительна, $x^2$ должно быть больше $y^2$, а поскольку числа натуральные, то $x > y$.

Воспользуемся формулой разности квадратов, чтобы разложить левую часть уравнения на множители:

$(x - y)(x + y) = 45$

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, то их сумма $(x+y)$ и разность $(x-y)$ являются целыми числами. Так как $x > y \ge 1$, оба этих множителя, $(x-y)$ и $(x+y)$, являются положительными целыми числами (натуральными делителями числа 45). Кроме того, очевидно, что $x+y > x-y$.

Таким образом, задача сводится к нахождению пар натуральных делителей числа 45, которые мы обозначим как $a = x-y$ и $b = x+y$, где $a \cdot b = 45$ и $a < b$. Для того чтобы $x = \frac{a+b}{2}$ и $y = \frac{b-a}{2}$ были целыми числами, необходимо, чтобы множители $a$ и $b$ имели одинаковую четность. Так как их произведение 45 нечетно, оба множителя должны быть нечетными.

Выпишем все такие пары множителей для числа 45:

$1 \cdot 45$

$3 \cdot 15$

$5 \cdot 9$

Все три пары состоят из нечетных чисел, значит, каждая из них даст нам целочисленное решение.

Рассмотрим первую пару: $a=1, b=45$.

$x = \frac{1+45}{2} = \frac{46}{2} = 23$

$y = \frac{45-1}{2} = \frac{44}{2} = 22$

Проверка: $23^2 - 22^2 = 529 - 484 = 45$. Пара чисел (23, 22) является решением.

Рассмотрим вторую пару: $a=3, b=15$.

$x = \frac{3+15}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$y = \frac{15-3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Проверка: $9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$. Пара чисел (9, 6) является решением.

Рассмотрим третью пару: $a=5, b=9$.

$x = \frac{5+9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$y = \frac{9-5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверка: $7^2 - 2^2 = 49 - 4 = 45$. Пара чисел (7, 2) является решением.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют три пары натуральных чисел.

Ответ: 23 и 22; 9 и 6; 7 и 2.

888. Докажите, что не существует натурального числа, которое от перестановки первой цифры в конец числа увеличилось бы в 5 раз.

Допустим, такое натуральное число существует. Обозначим его через $N$.

Пусть $n$ — количество цифр в числе $N$ (где $n \ge 1$), $d$ — его первая цифра ($d \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $M$ — число, образованное остальными $n-1$ цифрами. Тогда исходное число $N$ можно представить в виде:

$N = d \cdot 10^{n-1} + M$

Здесь $M$ — это целое число, удовлетворяющее условию $0 \le M < 10^{n-1}$.

После перестановки первой цифры $d$ в конец числа мы получаем новое число $N'$. Его можно представить как:

$N' = M \cdot 10 + d$

По условию задачи, новое число в 5 раз больше исходного:

$N' = 5N$

Подставим выражения для $N$ и $N'$ в это равенство:

$10M + d = 5 \cdot (d \cdot 10^{n-1} + M)$

Теперь проведем анализ этого утверждения с другой стороны. Поскольку $N$ является $n$-значным числом, оно находится в пределах:

$10^{n-1} \le N < 10^n$

Число $N'$, полученное перестановкой цифр, также является $n$-значным. Следовательно:

$10^{n-1} \le N' < 10^n$

Заменим $N'$ на $5N$ в этом неравенстве:

$10^{n-1} \le 5N < 10^n$

Рассмотрим правую часть этого двойного неравенства: $5N < 10^n$. Разделим обе части на 5:

$N < \frac{10^n}{5}$

$N < 2 \cdot 10^{n-1}$

Итак, мы имеем систему неравенств для $N$:

$\begin{cases} N \ge 10^{n-1} \\ N < 2 \cdot 10^{n-1} \end{cases}$

Из этих неравенств следует, что первая цифра числа $N$, то есть $d$, может быть только 1. Любое $n$-значное число, начинающееся с 2 или большей цифры, будет не меньше, чем $2 \cdot 10^{n-1}$.

Таким образом, мы установили, что если искомое число существует, его первая цифра $d=1$.

Теперь подставим значение $d=1$ в наше основное уравнение $10M + d = 5(d \cdot 10^{n-1} + M)$:

$10M + 1 = 5(1 \cdot 10^{n-1} + M)$

$10M + 1 = 5 \cdot 10^{n-1} + 5M$

Соберем члены с $M$ в левой части, а остальные — в правой:

$10M - 5M = 5 \cdot 10^{n-1} - 1$

$5M = 5 \cdot 10^{n-1} - 1$

Проанализируем полученное равенство. Левая часть, $5M$, очевидно, делится на 5 без остатка, так как $M$ — целое число.

Правая часть, $5 \cdot 10^{n-1} - 1$. Для любого натурального $n \ge 1$ число $5 \cdot 10^{n-1}$ оканчивается на 0 (например, 5, 50, 500, ...). Следовательно, число $5 \cdot 10^{n-1} - 1$ всегда будет оканчиваться на цифру 9 (например, 4, 49, 499, ...). Число, оканчивающееся на 9, не делится на 5 нацело.

Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения делится на 5, а правая — нет. Такое равенство для целых чисел невозможно.

Противоречие доказывает, что наше первоначальное допущение о существовании такого числа было неверным.

Ответ: Не существует такого натурального числа, которое от перестановки первой цифры в конец увеличилось бы в 5 раз, что и требовалось доказать.

889. Решите уравнение

Исходное уравнение:
$\sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - x)^2} - 5\sqrt[3]{65^2 - x^2} = 0$
Заметим, что подкоренное выражение в третьем слагаемом можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $65^2 - x^2 = (65 - x)(65 + x)$.
Используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{uv} = \sqrt[n]{u}\sqrt[n]{v}$, перепишем уравнение:
$\sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 - x)^2} - 5\sqrt[3]{(65 + x)}\sqrt[3]{(65 - x)} = 0$
Для упрощения уравнения введем замены. Пусть $a = \sqrt[3]{65 + x}$ и $b = \sqrt[3]{65 - x}$.
Тогда, используя свойство степеней $(\sqrt[n]{z})^m = \sqrt[n]{z^m}$, уравнение преобразуется к виду:
$a^2 + 4b^2 - 5ab = 0$
Перепишем его как квадратное уравнение относительно $a$:
$a^2 - 5ab + 4b^2 = 0$
Это однородное уравнение второй степени. Чтобы решить его, рассмотрим возможность деления на $b^2$. Для этого проверим, может ли $b$ равняться нулю.
Если $b=0$, то $\sqrt[3]{65 - x} = 0$, откуда $65 - x = 0$ и $x = 65$.
При $x = 65$ переменная $a$ принимает значение $a = \sqrt[3]{65 + 65} = \sqrt[3]{130} \neq 0$.
Однако, если подставить $b = 0$ в уравнение $a^2 - 5ab + 4b^2 = 0$, мы получим $a^2 = 0$, что означает $a = 0$.
Возникло противоречие ($a$ не может быть одновременно равным $\sqrt[3]{130}$ и $0$), следовательно, $b \neq 0$.
Так как $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения $a^2 - 5ab + 4b^2 = 0$ на $b^2$:
$(\frac{a}{b})^2 - 5(\frac{a}{b}) + 4 = 0$
Введем новую переменную $t = \frac{a}{b}$. Уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения:
$t^2 - 5t + 4 = 0$
Решая это уравнение (например, по теореме Виета, где сумма корней равна 5, а произведение равно 4), находим его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

1. Рассматриваем случай $t = 1$:
$\frac{a}{b} = 1 \implies a = b$
Подставляем обратно выражения для $a$ и $b$:
$\sqrt[3]{65 + x} = \sqrt[3]{65 - x}$
Возводим обе части уравнения в третью степень:
$65 + x = 65 - x$
$2x = 0$
$x_1 = 0$

2. Рассматриваем случай $t = 4$:
$\frac{a}{b} = 4 \implies a = 4b$
Подставляем обратно выражения для $a$ и $b$:
$\sqrt[3]{65 + x} = 4\sqrt[3]{65 - x}$
Возводим обе части уравнения в третью степень:
$65 + x = 4^3 (65 - x)$
$65 + x = 64(65 - x)$
$65 + x = 64 \cdot 65 - 64x$
$x + 64x = 64 \cdot 65 - 65$
$65x = 63 \cdot 65$
Разделив обе части на 65, получаем:
$x_2 = 63$

Таким образом, мы получили два корня: $0$ и $63$. Выполним проверку.
При $x=0$: $\sqrt[3]{(65+0)^2} + 4\sqrt[3]{(65-0)^2} - 5\sqrt[3]{65^2-0^2} = \sqrt[3]{65^2} + 4\sqrt[3]{65^2} - 5\sqrt[3]{65^2} = 0$. Верно.
При $x=63$: $\sqrt[3]{(65+63)^2} + 4\sqrt[3]{(65-63)^2} - 5\sqrt[3]{65^2-63^2} = \sqrt[3]{128^2} + 4\sqrt[3]{2^2} - 5\sqrt[3]{(2)(128)} = \sqrt[3]{(2^7)^2} + 4\sqrt[3]{4} - 5\sqrt[3]{2^8} = 2^4\sqrt[3]{2^2} + 4\sqrt[3]{4} - 5 \cdot 2^2\sqrt[3]{4} = 16\sqrt[3]{4} + 4\sqrt[3]{4} - 20\sqrt[3]{4} = 0$. Верно.
Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: $0; 63$.

890. Постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) $xy^2 < x$

Для решения данного неравенства перенесем все его члены в левую часть и разложим на множители.

$xy^2 - x < 0$

$x(y^2 - 1) < 0$

$x(y - 1)(y + 1) < 0$

Границами искомого множества точек являются линии, на которых выражение $x(y-1)(y+1)$ равно нулю. Это прямые $x=0$ (ось ординат), $y=1$ и $y=-1$. Поскольку неравенство строгое ($<>$), сами эти линии не входят в решение и должны быть изображены пунктиром.

Данные прямые разбивают координатную плоскость на шесть областей. Неравенство будет верным, если произведение трех сомножителей отрицательно. Это возможно в двух случаях: либо один из сомножителей отрицателен, а два других положительны, либо все три сомножителя отрицательны.

Рассмотрим эти случаи:
1. Один сомножитель отрицателен:
а) $x > 0$, $y-1 < 0$, $y+1 > 0 \implies x > 0$, $-1 < y < 1$. Это вертикальная полоса между прямыми $y=-1$ и $y=1$, расположенная в правой полуплоскости.
б) $x < 0$, $y-1 > 0$, $y+1 > 0 \implies x < 0$, $y > 1$. Это область над прямой $y=1$ в левой полуплоскости.
в) $x > 0$, $y-1 > 0$, $y+1 < 0$ - эта система не имеет решений, так как из $y+1 < 0$ следует $y < -1$, а из $y-1>0$ следует $y>1$.
2. Все три сомножителя отрицательны:
$x < 0$, $y-1 < 0$, $y+1 < 0 \implies x < 0$, $y < -1$. Это область под прямой $y=-1$ в левой полуплоскости.

Ответ: Искомое множество точек является объединением трех областей: 1) область, заданная условиями $x > 0$ и $-1 < y < 1$; 2) область, заданная условиями $x < 0$ и $y > 1$; 3) область, заданная условиями $x < 0$ и $y < -1$. Граничные прямые $x=0, y=1, y=-1$ не включаются в множество.

б) $y^2 - x^2y + 2x^2 > 2y$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их для последующего разложения на множители.

$y^2 - 2y - x^2y + 2x^2 > 0$

$y(y - 2) - x^2(y - 2) > 0$

$(y - 2)(y - x^2) > 0$

Границами искомого множества являются кривые, на которых выражение равно нулю: прямая $y=2$ и парабола $y=x^2$. Так как неравенство строгое ($>$), эти кривые не включаются в решение и изображаются пунктиром.

Неравенство $(y - 2)(y - x^2) > 0$ выполняется, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак.

Рассмотрим два случая:
1. Оба сомножителя положительны: $y - 2 > 0$ и $y - x^2 > 0$. Это равносильно системе неравенств $y > 2$ и $y > x^2$. Решением является множество точек, лежащих одновременно выше прямой $y=2$ и выше параболы $y=x^2$.
2. Оба сомножителя отрицательны: $y - 2 < 0$ и $y - x^2 < 0$. Это равносильно системе $y < 2$ и $y < x^2$. Решением является множество точек, лежащих одновременно ниже прямой $y=2$ и ниже параболы $y=x^2$.

Ответ: Искомое множество точек является объединением двух областей: 1) множество точек $(x,y)$, для которых $y > 2$ и $y > x^2$; 2) множество точек $(x,y)$, для которых $y < 2$ и $y < x^2$. Границы областей (прямая $y=2$ и парабола $y=x^2$) не включаются в множество.

в) $x^3 + xy^2 - 4x \le 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$x(x^2 + y^2 - 4) \le 0$

Границами множества являются линии, где левая часть равна нулю: прямая $x=0$ (ось ординат) и окружность $x^2 + y^2 - 4 = 0$, то есть $x^2 + y^2 = 4$ (окружность с центром в начале координат и радиусом 2). Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки на этих линиях входят в решение, и они изображаются сплошными линиями.

Неравенство $x(x^2 + y^2 - 4) \le 0$ выполняется, когда сомножители имеют разные знаки (или один из них равен нулю). Выражение $x^2 + y^2 - 4$ отрицательно для точек внутри окружности и положительно для точек вне ее.

Рассмотрим два случая:
1. $x \ge 0$ и $x^2 + y^2 - 4 \le 0$. Это соответствует точкам в правой полуплоскости ($x \ge 0$), которые лежат внутри или на окружности $x^2+y^2=4$. Геометрически это правая половина круга $x^2+y^2 \le 4$.
2. $x \le 0$ и $x^2 + y^2 - 4 \ge 0$. Это соответствует точкам в левой полуплоскости ($x \le 0$), которые лежат вне или на окружности $x^2+y^2=4$.

Ответ: Искомое множество является объединением двух областей: 1) правой половины круга, заданного неравенством $x^2+y^2 \le 4$ (то есть, $x \ge 0$ и $x^2+y^2 \le 4$); 2) части левой полуплоскости ($x \le 0$), расположенной вне круга $x^2+y^2=4$ (то есть, $x \le 0$ и $x^2+y^2 \ge 4$). Границы областей (ось Oy и окружность $x^2+y^2=4$) включаются в множество.

г) $x^2y + y^3 - y \ge 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки.

$y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0$

Границами множества являются линии, где левая часть равна нулю: прямая $y=0$ (ось абсцисс) и окружность $x^2 + y^2 - 1 = 0$, то есть $x^2 + y^2 = 1$ (единичная окружность с центром в начале координат). Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому точки на границах входят в решение, и они изображаются сплошными линиями.

Неравенство $y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0$ выполняется, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак (или один из них равен нулю). Выражение $x^2 + y^2 - 1$ отрицательно для точек внутри единичной окружности и положительно для точек вне ее.

Рассмотрим два случая:
1. $y \ge 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \ge 0$. Это соответствует точкам в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), которые лежат вне или на единичной окружности.
2. $y \le 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \le 0$. Это соответствует точкам в нижней полуплоскости ($y \le 0$), которые лежат внутри или на единичной окружности. Геометрически это нижняя половина круга $x^2+y^2 \le 1$.

Ответ: Искомое множество является объединением двух областей: 1) части верхней полуплоскости ($y \ge 0$), расположенной вне или на единичной окружности $x^2+y^2=1$; 2) нижней половины круга, ограниченного единичной окружностью ($y \le 0$ и $x^2+y^2 \le 1$). Границы областей (ось Ox и окружность $x^2+y^2=1$) включаются в множество.

891. Изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют системе:

а) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 4, \\ |x| \ge 1. \end{cases} $$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R_1 = \sqrt{4} = 2$. Геометрически это замкнутый круг.

Второе неравенство $|x| \ge 1$ равносильно совокупности двух неравенств: $x \ge 1$ или $x \le -1$.

• Неравенство $x \ge 1$ задает правую полуплоскость, включая границу — прямую $x=1$.
• Неравенство $x \le -1$ задает левую полуплоскость, включая границу — прямую $x=-1$.

Объединение этих двух полуплоскостей представляет собой всю координатную плоскость, за исключением открытой вертикальной полосы, заключенной между прямыми $x=-1$ и $x=1$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Таким образом, искомое множество точек — это часть круга радиусом 2, которая лежит в полуплоскостях $x \ge 1$ и $x \le -1$. Это круг, из которого вырезали вертикальную полосу $-1 < x < 1$. Поскольку все неравенства нестрогие, границы получившейся фигуры включаются в множество.

Ответ: Искомое множество — это круг с центром в начале координат и радиусом 2, из которого удалена открытая вертикальная полоса, ограниченная прямыми $x=-1$ и $x=1$. Фигура состоит из двух сегментов круга, симметричных относительно оси OY, включая их границы.

б) Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ |y| \ge 2. \end{cases} $$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает множество точек, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R_2 = \sqrt{9} = 3$. Геометрически это замкнутый круг.

Второе неравенство $|y| \ge 2$ равносильно совокупности двух неравенств: $y \ge 2$ или $y \le -2$.

• Неравенство $y \ge 2$ задает верхнюю полуплоскость, включая границу — прямую $y=2$.
• Неравенство $y \le -2$ задает нижнюю полуплоскость, включая границу — прямую $y=-2$.

Объединение этих двух полуплоскостей представляет собой всю координатную плоскость, за исключением открытой горизонтальной полосы, заключенной между прямыми $y=-2$ и $y=2$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Таким образом, искомое множество точек — это часть круга радиусом 3, которая лежит в полуплоскостях $y \ge 2$ и $y \le -2$. Это круг, из которого вырезали горизонтальную полосу $-2 < y < 2$. Поскольку все неравенства нестрогие, границы получившейся фигуры включаются в множество.

Ответ: Искомое множество — это круг с центром в начале координат и радиусом 3, из которого удалена открытая горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y=-2$ и $y=2$. Фигура состоит из двух сегментов круга, симметричных относительно оси OX, включая их границы.