Номер 882, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 882, страница 213.

Условие.

882. Найдите при любом натуральном n значение выражения

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи преобразуем выражения в числителе и знаменателе дроби, находящейся под знаком корня.

1. Рассмотрим числитель.

Выражение в числителе представляет собой сумму: $1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n$.

Заметим, что каждый член этой суммы можно представить через номер члена $k$ (где $k$ изменяется от $1$ до $n$). Общий вид k-го члена суммы: $k \cdot (2k) \cdot (4k)$.

Преобразуем это выражение: $k \cdot 2k \cdot 4k = 8k^3$.

Тогда всю сумму в числителе можно записать следующим образом, вынеся общий множитель 8 за скобки:

$1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n = 8 \cdot 1^3 + 8 \cdot 2^3 + \dots + 8 \cdot n^3 = 8(1^3 + 2^3 + \dots + n^3)$.

Используя знак суммирования, это можно записать как $8 \sum_{k=1}^{n} k^3$.

2. Рассмотрим знаменатель.

Выражение в знаменателе представляет собой сумму: $1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n$.

Общий вид k-го члена этой суммы: $k \cdot (3k) \cdot (9k)$.

Преобразуем это выражение: $k \cdot 3k \cdot 9k = 27k^3$.

Тогда всю сумму в знаменателе можно записать, вынеся общий множитель 27 за скобки:

$1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n = 27 \cdot 1^3 + 27 \cdot 2^3 + \dots + 27 \cdot n^3 = 27(1^3 + 2^3 + \dots + n^3)$.

Используя знак суммирования, это можно записать как $27 \sum_{k=1}^{n} k^3$.

3. Подставим преобразованные выражения в исходное.

Теперь подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходное выражение под знаком кубического корня:

$\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \dots + n \cdot 2n \cdot 4n}{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \dots + n \cdot 3n \cdot 9n}} = \sqrt[3]{\frac{8(1^3 + 2^3 + \dots + n^3)}{27(1^3 + 2^3 + \dots + n^3)}}$

Поскольку $n$ является натуральным числом, сумма $1^3 + 2^3 + \dots + n^3$ всегда положительна и не равна нулю. Следовательно, мы можем сократить дробь на общий множитель $(1^3 + 2^3 + \dots + n^3)$.

После сокращения получаем:

$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$

Вычисляем значение кубического корня:

$\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$

Таким образом, значение данного выражения не зависит от натурального числа $n$ и всегда равно $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.