Номер 878, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 878, страница 212.

Условие.

878. Решите уравнение с двумя переменными

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дано уравнение с двумя переменными:

$x^2 + 2\sqrt{3}x + y - 4\sqrt{y} + 7 = 0$

Область допустимых значений для переменной $y$ определяется условием $y \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Для решения уравнения сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$ отдельно, и применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим константу 7 в виде суммы $3 + 4$.

$x^2 + 2\sqrt{3}x + y - 4\sqrt{y} + 3 + 4 = 0$

Перегруппируем слагаемые:

$(x^2 + 2\sqrt{3}x + 3) + (y - 4\sqrt{y} + 4) = 0$

Теперь заметим, что выражения в скобках являются полными квадратами. Для первого выражения используется формула квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, а для второго — формула квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Первое выражение: $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (x + \sqrt{3})^2$.

Второе выражение: $y - 4\sqrt{y} + 4 = (\sqrt{y})^2 - 2 \cdot \sqrt{y} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{y} - 2)^2$.

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

$(x + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{y} - 2)^2 = 0$

Мы получили сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю.

Это приводит нас к системе двух уравнений:

$\begin{cases} (x + \sqrt{3})^2 = 0 \\ (\sqrt{y} - 2)^2 = 0 \end{cases}$

Решая эту систему, получаем:

$x + \sqrt{3} = 0 \implies x = -\sqrt{3}$

$\sqrt{y} - 2 = 0 \implies \sqrt{y} = 2 \implies y = 4$

Полученное значение $y=4$ удовлетворяет области допустимых значений ($4 \ge 0$).

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $(-\sqrt{3}; 4)$.