Номер 881, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 881, страница 213.

Условие.

881. Докажите, что при положительных значениях a, b и с верно неравенство

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Согласно ему, для любых неотрицательных чисел их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического.

Рассмотрим выражение в первой скобке в числителе: $a^2 + a + 1$. Поскольку по условию $a > 0$, то числа $a^2$, $a$ и $1$ являются положительными. Применим для них неравенство Коши для трех чисел:

$$ \frac{a^2 + a + 1}{3} \geq \sqrt[3]{a^2 \cdot a \cdot 1} $$

Упростим правую часть неравенства:

$$ \frac{a^2 + a + 1}{3} \geq \sqrt[3]{a^3} $$

$$ \frac{a^2 + a + 1}{3} \geq a $$

Домножим обе части на 3 (знак неравенства не изменится, так как 3 > 0):

$$ a^2 + a + 1 \geq 3a $$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда все числа, для которых применялось неравенство Коши, равны между собой, то есть $a^2 = a = 1$, что выполняется при $a=1$.

Аналогичные неравенства можно записать и для переменных $b$ и $c$, так как они тоже положительны:

$$ b^2 + b + 1 \geq 3b $$

$$ c^2 + c + 1 \geq 3c $$

Поскольку левые и правые части всех трех неравенств ($a^2 + a + 1 \geq 3a$, $b^2 + b + 1 \geq 3b$, $c^2 + c + 1 \geq 3c$) положительны, мы можем их перемножить:

$$ (a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1) \geq (3a)(3b)(3c) $$

$$ (a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1) \geq 27abc $$

Так как по условию $a, b, c$ — положительные числа, то их произведение $abc > 0$. Разделим обе части полученного неравенства на $abc$, при этом знак неравенства сохранится:

$$ \frac{(a^2 + a + 1)(b^2 + b + 1)(c^2 + c + 1)}{abc} \geq 27 $$

Неравенство доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Для доказательства было использовано неравенство Коши для трех положительных чисел, примененное последовательно для каждой из скобок в числителе исходного выражения.