Номер 877, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

877. Докажите, что если x² + y² + z² = xy + yz + zx, то x = y = z.

Для доказательства утверждения преобразуем данное равенство $x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx$.

Сначала перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить равенство с нулем в правой части:
$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$

Далее, умножим обе части уравнения на 2. Это преобразование является равносильным, так как правая часть равна нулю:
$2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 2 \cdot 0$
$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было применить формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Для этого представим $2x^2$ как $x^2+x^2$, $2y^2$ как $y^2+y^2$ и $2z^2$ как $z^2+z^2$:
$(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) = 0$

Свернем каждую скобку в полный квадрат:
$(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0$

Мы получили сумму трех квадратов. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным (т.е. $\ge 0$), сумма трех квадратов может равняться нулю только в том единственном случае, когда каждый из них равен нулю.
Следовательно, мы получаем систему уравнений:
$\begin{cases} (x - y)^2 = 0 \\ (y - z)^2 = 0 \\ (z - x)^2 = 0\end{cases}$

Из данной системы следует, что основания степеней также равны нулю:
$x - y = 0 \implies x = y$
$y - z = 0 \implies y = z$
$z - x = 0 \implies z = x$
Из этих равенств напрямую следует, что $x=y=z$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.