Номер 884, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 884, страница 213.

Условие.

884. Найдите наименьшее четырёхзначное число, которое после умножения на 21 станет квадратом натурального числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомое наименьшее четырёхзначное число равно $x$. По условию, $x$ является четырёхзначным, то есть $1000 \le x \le 9999$.

Произведение этого числа на 21 должно быть квадратом натурального числа. Обозначим этот квадрат как $n^2$, где $n$ — натуральное число. Таким образом, мы получаем уравнение:

$21x = n^2$

Для того чтобы число было полным квадратом, все простые множители в его каноническом разложении должны иметь чётные степени. Разложим число 21 на простые множители:

$21 = 3^1 \cdot 7^1$

Подставим это разложение в наше уравнение:

$3^1 \cdot 7^1 \cdot x = n^2$

Из этого равенства следует, что для того, чтобы произведение стало полным квадратом, в разложении числа $x$ на простые множители должны содержаться множители 3 и 7 в нечётных степенях (чтобы в итоге их степени стали чётными). Все остальные простые множители в разложении $x$ должны быть в чётных степенях. Это означает, что $x$ можно представить в виде:

$x = 3 \cdot 7 \cdot k^2$

где $k$ — некоторое натуральное число. Упростим выражение для $x$:

$x = 21k^2$

Теперь нам необходимо найти такое наименьшее натуральное $k$, при котором $x$ будет наименьшим четырёхзначным числом. Для этого $x$ должен удовлетворять условию $x \ge 1000$.

$21k^2 \ge 1000$

Разделим обе части неравенства на 21:

$k^2 \ge \frac{1000}{21}$

$k^2 \ge 47.619...$

Теперь найдём наименьшее натуральное число $k$, квадрат которого больше или равен 47.619....

Проверим квадраты последовательных натуральных чисел:

• $6^2 = 36$ (не удовлетворяет, так как $36 < 47.619...$)
• $7^2 = 49$ (удовлетворяет, так как $49 > 47.619...$)

Следовательно, наименьшее натуральное значение $k$, удовлетворяющее условию, равно 7.

Теперь мы можем найти искомое число $x$, подставив $k=7$ в нашу формулу:

$x = 21 \cdot 7^2 = 21 \cdot 49 = 1029$

Число 1029 является четырёхзначным. Проверим, будет ли его произведение с 21 полным квадратом:

$1029 \cdot 21 = (21 \cdot 49) \cdot 21 = 21^2 \cdot 7^2 = (21 \cdot 7)^2 = 147^2 = 21609$

Таким образом, наименьшее четырёхзначное число, которое при умножении на 21 даёт полный квадрат, — это 1029.

Ответ: 1029.