Номер 879, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 879, страница 212.

Условие.

879. Решите систему уравнений

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2z^2 = 0 \\ x + y + z = 8 \\ xy = -z^2 \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из третьего уравнения системы $xy = -z^2$ следует, что $z^2 = -xy$.

Подставим это выражение для $z^2$ в первое уравнение системы:

$x^2 + y^2 - 2(-xy) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$x^2 + y^2 + 2xy = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Свернем его по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x+y)^2 = 0$

Из этого уравнения следует, что $x+y = 0$.

Теперь подставим полученное равенство $x+y = 0$ во второе уравнение исходной системы $x + y + z = 8$:

$(x+y) + z = 8$

$0 + z = 8$

Отсюда находим значение переменной $z$:

$z = 8$

Теперь, зная значение $z$, мы можем найти значения $x$ и $y$. Подставим $z=8$ в третье уравнение системы:

$xy = -z^2$

$xy = -(8)^2$

$xy = -64$

Таким образом, для нахождения $x$ и $y$ у нас есть система из двух уравнений:

$$ \begin{cases} x+y=0 \\ xy=-64 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = -x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(-x) = -64$

$-x^2 = -64$

$x^2 = 64$

Это уравнение имеет два корня:

$x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$:

1. Если $x_1 = 8$, то $y_1 = -x_1 = -8$.

2. Если $x_2 = -8$, то $y_2 = -x_2 = -(-8) = 8$.

Итак, мы получили две тройки решений $(x, y, z)$:

Первое решение: $(8, -8, 8)$.

Второе решение: $(-8, 8, 8)$.

Выполним проверку, подставив найденные решения в исходную систему.

Для тройки $(8, -8, 8)$:

$$ \begin{cases} 8^2 + (-8)^2 - 2 \cdot 8^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 64 = 128 - 128 = 0 \\ 8 + (-8) + 8 = 0 + 8 = 8 \\ 8 \cdot (-8) = -64, \text{ и } -z^2 = -8^2 = -64 \end{cases} $$

Все уравнения выполняются, значит, это решение верное.

Для тройки $(-8, 8, 8)$:

$$ \begin{cases} (-8)^2 + 8^2 - 2 \cdot 8^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 64 = 128 - 128 = 0 \\ -8 + 8 + 8 = 0 + 8 = 8 \\ (-8) \cdot 8 = -64, \text{ и } -z^2 = -8^2 = -64 \end{cases} $$

Все уравнения также выполняются, это решение тоже верное.

Ответ: $(8, -8, 8)$, $(-8, 8, 8)$.