Номер 886, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 886, страница 213.

Условие.

886. Взяли два различных натуральных числа. Эти числа сложили, перемножили, вычли из большего данного числа меньшее и разделили большее на меньшее. Оказалось, что сумма всех четырёх результатов равна 441. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть даны два различных натуральных числа. Обозначим большее из них через $a$, а меньшее через $b$. По условию, $a, b \in \mathbb{N}$ и $a > b$.

С этими числами выполнили четыре действия:

1. Сложение: $a+b$
2. Перемножение: $ab$
3. Вычитание из большего меньшего: $a-b$
4. Деление большего на меньшее: $\frac{a}{b}$

Сумма всех четырёх результатов равна 441. Составим уравнение на основе этого условия:

$(a+b) + ab + (a-b) + \frac{a}{b} = 441$

Упростим левую часть уравнения, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$a + b + ab + a - b + \frac{a}{b} = 441$

$2a + ab + \frac{a}{b} = 441$

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, то $2a$ и $ab$ являются целыми числами. Чтобы их сумма с $\frac{a}{b}$ была целым числом (441), необходимо, чтобы слагаемое $\frac{a}{b}$ также было целым числом. Это означает, что число $a$ должно делиться нацело на $b$.

Введем новую переменную $k$, которая будет представлять собой результат деления $a$ на $b$:

$\frac{a}{b} = k$, где $k$ — натуральное число.

Отсюда $a = kb$. Так как по условию числа $a$ и $b$ различны и $a > b$, то $k$ должно быть целым числом, большим 1, то есть $k \ge 2$.

Подставим $a=kb$ в наше упрощенное уравнение:

$2(kb) + (kb)b + \frac{kb}{b} = 441$

$2kb + kb^2 + k = 441$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки в левой части уравнения:

$k(2b + b^2 + 1) = 441$

Выражение в скобках $b^2 + 2b + 1$ является полным квадратом суммы $(b+1)^2$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$k(b+1)^2 = 441$

Теперь нам нужно найти натуральные числа $b \ge 1$ и $k \ge 2$, которые удовлетворяют этому уравнению. Для этого разложим число 441 на простые множители:

$441 = 21 \times 21 = (3 \times 7) \times (3 \times 7) = 3^2 \times 7^2$

Из уравнения $k(b+1)^2 = 441$ следует, что $(b+1)^2$ должно быть делителем числа 441, который является точным квадратом. Найдем все такие делители: $1^2=1$, $3^2=9$, $7^2=49$, $21^2=441$.

Рассмотрим все возможные случаи для $(b+1)^2$:

• Случай 1: $(b+1)^2 = 1$.
  Тогда $b+1 = 1 \Rightarrow b = 0$. Но $b$ — натуральное число, поэтому этот случай невозможен.
• Случай 2: $(b+1)^2 = 9$.
  Тогда $b+1 = 3 \Rightarrow b = 2$. Это допустимое значение для $b$. Найдем соответствующее значение $k$:
  $k \cdot 9 = 441 \Rightarrow k = \frac{441}{9} = 49$.
  Значение $k=49$ удовлетворяет условию $k \ge 2$. Теперь найдем $a$:
  $a = kb = 49 \cdot 2 = 98$.
  Получили пару чисел (2, 98). Проверим их: $98+2=100$, $98 \cdot 2=196$, $98-2=96$, $98/2=49$. Сумма: $100+196+96+49=441$. Решение верное.
• Случай 3: $(b+1)^2 = 49$.
  Тогда $b+1 = 7 \Rightarrow b = 6$. Это допустимое значение для $b$. Найдем соответствующее значение $k$:
  $k \cdot 49 = 441 \Rightarrow k = \frac{441}{49} = 9$.
  Значение $k=9$ удовлетворяет условию $k \ge 2$. Теперь найдем $a$:
  $a = kb = 9 \cdot 6 = 54$.
  Получили пару чисел (6, 54). Проверим их: $54+6=60$, $54 \cdot 6=324$, $54-6=48$, $54/6=9$. Сумма: $60+324+48+9=441$. Решение верное.
• Случай 4: $(b+1)^2 = 441$.
  Тогда $b+1 = 21 \Rightarrow b = 20$. Это допустимое значение для $b$. Найдем соответствующее значение $k$:
  $k \cdot 441 = 441 \Rightarrow k = 1$.
  Это значение не удовлетворяет условию $k \ge 2$, так как при $k=1$ числа $a$ и $b$ были бы равны ($a=1 \cdot b \Rightarrow a=b$), что противоречит условию задачи о различных числах.

Таким образом, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: искомые числа это 2 и 98, или 6 и 54.