Номер 893, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

893. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) $x^2 + y^2 - 6|x| + 2y \le -1$

Для решения данного неравенства мы преобразуем его, выделив полные квадраты. Заметим, что $x^2$ можно представить как $|x|^2$, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Перепишем неравенство в виде:
$|x|^2 - 6|x| + y^2 + 2y + 1 \le 0$

Теперь выделим полные квадраты для выражений с $|x|$ и с $y$:
$(|x|^2 - 6|x| + 9) - 9 + (y^2 + 2y + 1) \le 0$
$(|x| - 3)^2 + (y + 1)^2 - 9 \le 0$
$(|x| - 3)^2 + (y + 1)^2 \le 9$
$(|x| - 3)^2 + (y + 1)^2 \le 3^2$

Это неравенство описывает множество точек, зависящее от знака $x$. Рассмотрим два случая:

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид:
  $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 \le 3^2$.
  Это неравенство задает круг с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом $R=3$. Мы рассматриваем только ту часть этого круга, которая находится в правой полуплоскости ($x \ge 0$).
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:
  $(-x - 3)^2 + (y + 1)^2 \le 3^2$
  $(-(x + 3))^2 + (y + 1)^2 \le 3^2$
  $(x + 3)^2 + (y + 1)^2 \le 3^2$.
  Это неравенство задает круг с центром в точке $(-3, -1)$ и радиусом $R=3$. Мы рассматриваем только ту часть этого круга, которая находится в левой полуплоскости ($x < 0$).

Таким образом, искомое множество решений представляет собой объединение двух кругов (включая их границы).

Ответ: Множество решений представляет собой объединение двух кругов с радиусом 3: один с центром в точке $(3, -1)$, а другой с центром в точке $(-3, -1)$.

б) $x^2 + y^2 - 6x + 2|y| \le -1$

Аналогично пункту а), преобразуем неравенство, используя свойство $y^2 = |y|^2$.

Перепишем неравенство и выделим полные квадраты для выражений с $x$ и с $|y|$:
$x^2 - 6x + y^2 + 2|y| + 1 \le 0$
$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (|y|^2 + 2|y| + 1) \le 0$
$(x - 3)^2 + (|y| + 1)^2 - 9 \le 0$
$(x - 3)^2 + (|y| + 1)^2 \le 9$
$(x - 3)^2 + (|y| + 1)^2 \le 3^2$

Это неравенство описывает множество точек, зависящее от знака $y$. Рассмотрим два случая:

• Если $y \ge 0$, то $|y| = y$. Неравенство принимает вид:
  $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 \le 3^2$.
  Это круг с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом $R=3$. Решением в этом случае является часть этого круга, для которой $y \ge 0$ (часть круга, расположенная выше или на оси Ox).
• Если $y < 0$, то $|y| = -y$. Неравенство принимает вид:
  $(x - 3)^2 + (-y + 1)^2 \le 3^2$
  $(x - 3)^2 + (-(y - 1))^2 \le 3^2$
  $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 \le 3^2$.
  Это круг с центром в точке $(3, 1)$ и радиусом $R=3$. Решением в этом случае является часть этого круга, для которой $y < 0$ (часть круга, расположенная ниже оси Ox).

Итоговое множество решений является объединением этих двух частей кругов. Фигура симметрична относительно прямой $x=3$.

Ответ: Множество решений является объединением двух фигур: 1) части круга с центром в $(3, -1)$ и радиусом 3, расположенной в верхней полуплоскости ($y \ge 0$); 2) части круга с центром в $(3, 1)$ и радиусом 3, расположенной в нижней полуплоскости ($y < 0$).