Номер 897, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 897, страница 214.

Условие.

897. Найдите корни уравнения х³ – 2х² + 3х – 18 = 0.

Решение 1.

Решение 8.

Для решения кубического уравнения $x^3 - 2x^2 + 3x - 18 = 0$ воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если у многочлена с целыми коэффициентами есть рациональные корни, то они являются делителями свободного члена (в данном случае -18), деленными на делители старшего коэффициента (в данном случае 1). Таким образом, возможные целые корни уравнения находятся среди делителей числа -18: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18$.

Проверим некоторые из этих значений путем подстановки в уравнение. Начнем с небольших по модулю значений.

Проверим $x=3$:

$3^3 - 2(3)^2 + 3(3) - 18 = 27 - 2 \cdot 9 + 9 - 18 = 27 - 18 + 9 - 18 = 9 + 9 - 18 = 0$.

Так как получилось верное равенство, $x=3$ является корнем уравнения.

Теперь, зная один корень, мы можем разложить многочлен $x^3 - 2x^2 + 3x - 18$ на множители. Поскольку $x=3$ — корень, то многочлен делится на $(x-3)$ без остатка. Разделим многочлен на $(x-3)$ методом группировки.

Исходное уравнение: $x^3 - 2x^2 + 3x - 18 = 0$.

Представим член $-2x^2$ как $-3x^2 + x^2$, а член $3x$ как $-3x+6x$, чтобы выделить множитель $(x-3)$:

$x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x + 6x - 18 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 - 3x^2) + (x^2 - 3x) + (6x - 18) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 3) + x(x - 3) + 6(x - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x-3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 + x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два случая:

1) $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$.

2) $x^2 + x + 6 = 0$.

Решим второе, квадратное, уравнение. Для этого найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $x^2 + x + 6 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное кубическое уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: 3