Номер 899, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 899, страница 214.

Условие.

899. Найдите значения параметра а, при которых система уравнений х² + у² = 9 и у – х = а имеет одно решение; имеет два решения; не имеет решений. При каком наименьшем по модулю значении параметра а система уравнений имеет одно решение?

Решение 1.

Решение 8.

Данная система уравнений описывает пересечение окружности и прямой на координатной плоскости. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$. Второе уравнение $y - x = a$ можно переписать в виде $y = x + a$. Это уравнение задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом, равным 1. Параметр $a$ определяет положение прямой относительно начала координат.

Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и прямой. Чтобы найти это количество, решим систему аналитически. Выразим $y$ из второго уравнения и подставим в первое:
$y = x + a$
$x^2 + (x + a)^2 = 9$
$x^2 + x^2 + 2ax + a^2 = 9$
$2x^2 + 2ax + a^2 - 9 = 0$

Получилось квадратное уравнение относительно $x$. Количество его действительных корней определяет количество решений исходной системы. Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 9) = 4a^2 - 8(a^2 - 9) = 4a^2 - 8a^2 + 72 = 72 - 4a^2$.
Количество решений зависит от знака дискриминанта.

имеет одно решение

Система имеет одно решение, если квадратное уравнение имеет один корень, что соответствует случаю $D=0$. Геометрически это означает, что прямая касается окружности.
$72 - 4a^2 = 0$
$4a^2 = 72$
$a^2 = 18$
$a = \pm\sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2}$
Ответ: при $a = 3\sqrt{2}$ и $a = -3\sqrt{2}$.

имеет два решения

Система имеет два решения, если квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, что соответствует случаю $D > 0$. Геометрически это означает, что прямая пересекает окружность в двух точках.
$72 - 4a^2 > 0$
$72 > 4a^2$
$18 > a^2$
$a^2 < 18$
$-\sqrt{18} < a < \sqrt{18}$
$-3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2}$
Ответ: при $a \in (-3\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$.

не имеет решений

Система не имеет решений, если квадратное уравнение не имеет действительных корней, что соответствует случаю $D < 0$. Геометрически это означает, что прямая не имеет общих точек с окружностью.
$72 - 4a^2 < 0$
$72 < 4a^2$
$18 < a^2$
$a^2 > 18$
$a > \sqrt{18}$ или $a < -\sqrt{18}$
$a > 3\sqrt{2}$ или $a < -3\sqrt{2}$
Ответ: при $a \in (-\infty, -3\sqrt{2}) \cup (3\sqrt{2}, \infty)$.

При каком наименьшем по модулю значении параметра a система уравнений имеет одно решение?

Как было найдено выше, система имеет одно решение при $a = 3\sqrt{2}$ и $a = -3\sqrt{2}$.
Найдем модули этих значений:
$|3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}$
$|-3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}$
Оба значения параметра имеют одинаковый модуль $3\sqrt{2}$. Так как для любого другого количества решений (двух или нуля) модуль параметра $a$ будет соответственно меньше или больше $3\sqrt{2}$, то $3\sqrt{2}$ и есть наименьший модуль, при котором система имеет одно решение. Этому условию соответствуют два значения параметра $a$.
Ответ: $a = -3\sqrt{2}$ и $a = 3\sqrt{2}$.