Номер 894, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

894. Закрасьте на координатной плоскости фигуру, которая задаётся системой неравенств

Охарактеризуйте её аналитически.

Закрасьте на координатной плоскости фигуру, которая задаётся системой неравенств

Для построения искомой фигуры рассмотрим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство: $y - 4 \le x^2 - 4|x|$.

Перепишем его в виде $y \le x^2 - 4|x| + 4$. Так как $x^2 = |x|^2$, то неравенство можно представить как $y \le |x|^2 - 4|x| + 4$. Правая часть является полным квадратом: $y \le (|x| - 2)^2$.

Это неравенство задает область, расположенную на границе $y = (|x| - 2)^2$ и ниже неё. Рассмотрим функцию $f(x) = (|x| - 2)^2$. Эта функция является четной, так как $f(-x) = (|-x| - 2)^2 = (|x| - 2)^2 = f(x)$, следовательно, её график симметричен относительно оси $Oy$.

• При $x \ge 0$, имеем $y = (x-2)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх.
• При $x < 0$, имеем $y = (-x-2)^2 = (x+2)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(-2, 0)$, ветви которой также направлены вверх.

График $y = (|x| - 2)^2$ представляет собой "W"-образную кривую с вершинами в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$ и локальным максимумом (точкой излома) в $(0, 4)$. Неравенство $y \le (|x| - 2)^2$ описывает все точки плоскости, лежащие на этой кривой и под ней.

2. Второе неравенство: $4x - 3y \le -12$.

Это линейное неравенство. Выразим $y$:
$-3y \le -4x - 12$
$3y \ge 4x + 12$
$y \ge \frac{4}{3}x + 4$.

Это неравенство задает полуплоскость, расположенную на прямой $y = \frac{4}{3}x + 4$ и выше неё. Эта прямая проходит через точки:

• при $x=0$, $y = 4$. Точка $(0, 4)$.
• при $y=0$, $4x = -12 \implies x = -3$. Точка $(-3, 0)$.

3. Фигура, задаваемая системой неравенств, является пересечением двух найденных областей. То есть, это множество точек $(x, y)$, для которых одновременно выполняются условия $y \le (|x| - 2)^2$ и $y \ge \frac{4}{3}x + 4$. Таким образом, искомая фигура заключена между прямой $y = \frac{4}{3}x + 4$ (снизу) и кривой $y = (|x| - 2)^2$ (сверху).

Найдем точки пересечения границ этих областей, решив уравнение $\frac{4}{3}x + 4 = (|x|-2)^2$.

• Случай 1: $x \ge 0$.
  $\frac{4}{3}x + 4 = (x-2)^2$
  $\frac{4}{3}x + 4 = x^2 - 4x + 4$
  $x^2 - 4x - \frac{4}{3}x = 0$
  $x^2 - \frac{16}{3}x = 0$
  $x(x - \frac{16}{3}) = 0$
  Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{16}{3}$.
  При $x_1=0$, $y=4$. Точка пересечения $A(0, 4)$.
  При $x_2=\frac{16}{3}$, $y = \frac{4}{3}(\frac{16}{3}) + 4 = \frac{64}{9} + \frac{36}{9} = \frac{100}{9}$. Точка пересечения $B(\frac{16}{3}, \frac{100}{9})$.
• Случай 2: $x < 0$.
  $\frac{4}{3}x + 4 = (-x-2)^2 = (x+2)^2$
  $\frac{4}{3}x + 4 = x^2 + 4x + 4$
  $x^2 + 4x - \frac{4}{3}x = 0$
  $x^2 + \frac{8}{3}x = 0$
  $x(x + \frac{8}{3}) = 0$
  Отсюда $x_3 = 0$ (не удовлетворяет условию $x<0$) и $x_4 = -\frac{8}{3}$.
  При $x_4=-\frac{8}{3}$, $y = \frac{4}{3}(-\frac{8}{3}) + 4 = -\frac{32}{9} + \frac{36}{9} = \frac{4}{9}$. Точка пересечения $C(-\frac{8}{3}, \frac{4}{9})$.

Таким образом, фигура, которую нужно закрасить, — это замкнутая область, ограниченная снизу отрезком прямой $y = \frac{4}{3}x+4$ между точками $C$ и $B$, а сверху — двумя дугами парабол: дугой параболы $y=(x+2)^2$ от точки $C$ до точки $A$ и дугой параболы $y=(x-2)^2$ от точки $A$ до точки $B$.

Ответ: Искомая фигура — это замкнутая область на координатной плоскости, ограниченная снизу отрезком прямой $y=\frac{4}{3}x+4$ и сверху кривой $y=(|x|-2)^2$. Вершинами этой фигуры являются точки $C(-\frac{8}{3}, \frac{4}{9})$, $A(0, 4)$ и $B(\frac{16}{3}, \frac{100}{9})$.

Охарактеризуйте её аналитически

Аналитически данная фигура представляет собой множество точек $F$ на плоскости $\mathbb{R}^2$, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют системе неравенств. Это можно записать в виде одного двойного неравенства: $F = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \frac{4}{3}x + 4 \le y \le (|x|-2)^2 \right\}$.

Это множество является:

• Замкнутым, так как границы, определяемые нестрогими неравенствами ($\le, \ge$), принадлежат множеству.
• Ограниченным, так как оно полностью содержится, например, в прямоугольнике $[-\frac{8}{3}, \frac{16}{3}] \times [0, \frac{100}{9}]$. Следовательно, по теореме Гейне-Бореля, это множество является компактом.
• Связным, так как любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.

Граница фигуры состоит из трех частей:

1. Отрезок прямой $y = \frac{4}{3}x + 4$ при $x \in [-\frac{8}{3}, \frac{16}{3}]$.
2. Дуга параболы $y = (x+2)^2$ при $x \in [-\frac{8}{3}, 0]$.
3. Дуга параболы $y = (x-2)^2$ при $x \in [0, \frac{16}{3}]$.

Вершинами фигуры, то есть точками пересечения граничных кривых, являются: $C(-\frac{8}{3}, \frac{4}{9})$, $A(0, 4)$ и $B(\frac{16}{3}, \frac{100}{9})$.

Ответ: Фигура является замкнутым, ограниченным и связным множеством (компактом), заданным аналитически как $F = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \frac{4}{3}x + 4 \le y \le (|x|-2)^2 \right\}$. Её граница состоит из отрезка прямой и двух дуг парабол, соединяющихся в точках $(-\frac{8}{3}, \frac{4}{9})$, $(0, 4)$ и $(\frac{16}{3}, \frac{100}{9})$.