Номер 887, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 887, страница 213.

Условие.

887. Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомые натуральные числа — это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, $x, y \in \mathbb{N}$ и разность их квадратов равна 45. Запишем это математически:

$x^2 - y^2 = 45$

Так как разность положительна, $x^2$ должно быть больше $y^2$, а поскольку числа натуральные, то $x > y$.

Воспользуемся формулой разности квадратов, чтобы разложить левую часть уравнения на множители:

$(x - y)(x + y) = 45$

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, то их сумма $(x+y)$ и разность $(x-y)$ являются целыми числами. Так как $x > y \ge 1$, оба этих множителя, $(x-y)$ и $(x+y)$, являются положительными целыми числами (натуральными делителями числа 45). Кроме того, очевидно, что $x+y > x-y$.

Таким образом, задача сводится к нахождению пар натуральных делителей числа 45, которые мы обозначим как $a = x-y$ и $b = x+y$, где $a \cdot b = 45$ и $a < b$. Для того чтобы $x = \frac{a+b}{2}$ и $y = \frac{b-a}{2}$ были целыми числами, необходимо, чтобы множители $a$ и $b$ имели одинаковую четность. Так как их произведение 45 нечетно, оба множителя должны быть нечетными.

Выпишем все такие пары множителей для числа 45:

$1 \cdot 45$

$3 \cdot 15$

$5 \cdot 9$

Все три пары состоят из нечетных чисел, значит, каждая из них даст нам целочисленное решение.

Рассмотрим первую пару: $a=1, b=45$.

$x = \frac{1+45}{2} = \frac{46}{2} = 23$

$y = \frac{45-1}{2} = \frac{44}{2} = 22$

Проверка: $23^2 - 22^2 = 529 - 484 = 45$. Пара чисел (23, 22) является решением.

Рассмотрим вторую пару: $a=3, b=15$.

$x = \frac{3+15}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$y = \frac{15-3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Проверка: $9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45$. Пара чисел (9, 6) является решением.

Рассмотрим третью пару: $a=5, b=9$.

$x = \frac{5+9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$y = \frac{9-5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверка: $7^2 - 2^2 = 49 - 4 = 45$. Пара чисел (7, 2) является решением.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют три пары натуральных чисел.

Ответ: 23 и 22; 9 и 6; 7 и 2.