Номер 890, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 890, страница 213.

Условие.

890. Постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $xy^2 < x$

Для решения данного неравенства перенесем все его члены в левую часть и разложим на множители.

$xy^2 - x < 0$

$x(y^2 - 1) < 0$

$x(y - 1)(y + 1) < 0$

Границами искомого множества точек являются линии, на которых выражение $x(y-1)(y+1)$ равно нулю. Это прямые $x=0$ (ось ординат), $y=1$ и $y=-1$. Поскольку неравенство строгое ($<>$), сами эти линии не входят в решение и должны быть изображены пунктиром.

Данные прямые разбивают координатную плоскость на шесть областей. Неравенство будет верным, если произведение трех сомножителей отрицательно. Это возможно в двух случаях: либо один из сомножителей отрицателен, а два других положительны, либо все три сомножителя отрицательны.

Рассмотрим эти случаи:
1. Один сомножитель отрицателен:
а) $x > 0$, $y-1 < 0$, $y+1 > 0 \implies x > 0$, $-1 < y < 1$. Это вертикальная полоса между прямыми $y=-1$ и $y=1$, расположенная в правой полуплоскости.
б) $x < 0$, $y-1 > 0$, $y+1 > 0 \implies x < 0$, $y > 1$. Это область над прямой $y=1$ в левой полуплоскости.
в) $x > 0$, $y-1 > 0$, $y+1 < 0$ - эта система не имеет решений, так как из $y+1 < 0$ следует $y < -1$, а из $y-1>0$ следует $y>1$.
2. Все три сомножителя отрицательны:
$x < 0$, $y-1 < 0$, $y+1 < 0 \implies x < 0$, $y < -1$. Это область под прямой $y=-1$ в левой полуплоскости.

Ответ: Искомое множество точек является объединением трех областей: 1) область, заданная условиями $x > 0$ и $-1 < y < 1$; 2) область, заданная условиями $x < 0$ и $y > 1$; 3) область, заданная условиями $x < 0$ и $y < -1$. Граничные прямые $x=0, y=1, y=-1$ не включаются в множество.

б) $y^2 - x^2y + 2x^2 > 2y$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их для последующего разложения на множители.

$y^2 - 2y - x^2y + 2x^2 > 0$

$y(y - 2) - x^2(y - 2) > 0$

$(y - 2)(y - x^2) > 0$

Границами искомого множества являются кривые, на которых выражение равно нулю: прямая $y=2$ и парабола $y=x^2$. Так как неравенство строгое ($>$), эти кривые не включаются в решение и изображаются пунктиром.

Неравенство $(y - 2)(y - x^2) > 0$ выполняется, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак.

Рассмотрим два случая:
1. Оба сомножителя положительны: $y - 2 > 0$ и $y - x^2 > 0$. Это равносильно системе неравенств $y > 2$ и $y > x^2$. Решением является множество точек, лежащих одновременно выше прямой $y=2$ и выше параболы $y=x^2$.
2. Оба сомножителя отрицательны: $y - 2 < 0$ и $y - x^2 < 0$. Это равносильно системе $y < 2$ и $y < x^2$. Решением является множество точек, лежащих одновременно ниже прямой $y=2$ и ниже параболы $y=x^2$.

Ответ: Искомое множество точек является объединением двух областей: 1) множество точек $(x,y)$, для которых $y > 2$ и $y > x^2$; 2) множество точек $(x,y)$, для которых $y < 2$ и $y < x^2$. Границы областей (прямая $y=2$ и парабола $y=x^2$) не включаются в множество.

в) $x^3 + xy^2 - 4x \le 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$x(x^2 + y^2 - 4) \le 0$

Границами множества являются линии, где левая часть равна нулю: прямая $x=0$ (ось ординат) и окружность $x^2 + y^2 - 4 = 0$, то есть $x^2 + y^2 = 4$ (окружность с центром в начале координат и радиусом 2). Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки на этих линиях входят в решение, и они изображаются сплошными линиями.

Неравенство $x(x^2 + y^2 - 4) \le 0$ выполняется, когда сомножители имеют разные знаки (или один из них равен нулю). Выражение $x^2 + y^2 - 4$ отрицательно для точек внутри окружности и положительно для точек вне ее.

Рассмотрим два случая:
1. $x \ge 0$ и $x^2 + y^2 - 4 \le 0$. Это соответствует точкам в правой полуплоскости ($x \ge 0$), которые лежат внутри или на окружности $x^2+y^2=4$. Геометрически это правая половина круга $x^2+y^2 \le 4$.
2. $x \le 0$ и $x^2 + y^2 - 4 \ge 0$. Это соответствует точкам в левой полуплоскости ($x \le 0$), которые лежат вне или на окружности $x^2+y^2=4$.

Ответ: Искомое множество является объединением двух областей: 1) правой половины круга, заданного неравенством $x^2+y^2 \le 4$ (то есть, $x \ge 0$ и $x^2+y^2 \le 4$); 2) части левой полуплоскости ($x \le 0$), расположенной вне круга $x^2+y^2=4$ (то есть, $x \le 0$ и $x^2+y^2 \ge 4$). Границы областей (ось Oy и окружность $x^2+y^2=4$) включаются в множество.

г) $x^2y + y^3 - y \ge 0$

Вынесем общий множитель $y$ за скобки.

$y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0$

Границами множества являются линии, где левая часть равна нулю: прямая $y=0$ (ось абсцисс) и окружность $x^2 + y^2 - 1 = 0$, то есть $x^2 + y^2 = 1$ (единичная окружность с центром в начале координат). Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому точки на границах входят в решение, и они изображаются сплошными линиями.

Неравенство $y(x^2 + y^2 - 1) \ge 0$ выполняется, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак (или один из них равен нулю). Выражение $x^2 + y^2 - 1$ отрицательно для точек внутри единичной окружности и положительно для точек вне ее.

Рассмотрим два случая:
1. $y \ge 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \ge 0$. Это соответствует точкам в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), которые лежат вне или на единичной окружности.
2. $y \le 0$ и $x^2 + y^2 - 1 \le 0$. Это соответствует точкам в нижней полуплоскости ($y \le 0$), которые лежат внутри или на единичной окружности. Геометрически это нижняя половина круга $x^2+y^2 \le 1$.

Ответ: Искомое множество является объединением двух областей: 1) части верхней полуплоскости ($y \ge 0$), расположенной вне или на единичной окружности $x^2+y^2=1$; 2) нижней половины круга, ограниченного единичной окружностью ($y \le 0$ и $x^2+y^2 \le 1$). Границы областей (ось Ox и окружность $x^2+y^2=1$) включаются в множество.