Номер 896, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 896, страница 214.

Условие.

896. Окружность с центром в начале координат проходит через точку (30; 40). Она разбивает множество не принадлежащих ей точек координатной плоскости на внутреннюю и внешнюю области. Напишите неравенство, графиком которого является:

а) внутренняя область;

б) внешняя область.

Решение 1.

Решение 8.

Для начала определим уравнение окружности. Стандартное уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$x^2 + y^2 = R^2$

Согласно условию, окружность проходит через точку с координатами $(30; 40)$. Это означает, что расстояние от центра окружности до этой точки равно радиусу $R$. Мы можем найти квадрат радиуса $R^2$, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками:

$R^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = (30 - 0)^2 + (40 - 0)^2$

$R^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500$

Таким образом, уравнение данной окружности:

$x^2 + y^2 = 2500$

Эта окружность делит все точки координатной плоскости, которые ей не принадлежат, на две области.

а) внутренняя область

Внутренняя область (или открытый круг) состоит из всех точек, расстояние от которых до центра окружности меньше ее радиуса. В виде неравенства это условие записывается как $x^2 + y^2 < R^2$. Знак неравенства строгий, поскольку точки на самой окружности не принадлежат этой области.

Подставив найденное значение $R^2 = 2500$, мы получаем искомое неравенство.

Ответ: $x^2 + y^2 < 2500$

б) внешняя область

Внешняя область состоит из всех точек, расстояние от которых до центра окружности больше ее радиуса. Это условие выражается неравенством $x^2 + y^2 > R^2$.

Подставив значение $R^2 = 2500$, мы получаем неравенство для внешней области.

Ответ: $x^2 + y^2 > 2500$