Номер 895, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

895. Изобразите множество решений системы неравенств:

а)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ |x| + |y| \le 0 \end{cases} $$ Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает на координатной плоскости множество точек, находящихся внутри и на окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Это замкнутый круг.

Рассмотрим второе неравенство: $|x| + |y| \le 0$. По определению, абсолютная величина любого действительного числа является неотрицательной, то есть $|x| \ge 0$ и $|y| \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательной: $|x| + |y| \ge 0$. Таким образом, неравенство $|x| + |y| \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $|x| + |y| = 0$. Это равенство справедливо лишь тогда, когда оба слагаемых равны нулю одновременно: $|x| = 0$ и $|y| = 0$. Отсюда следует, что $x = 0$ и $y = 0$. Следовательно, решением второго неравенства является единственная точка (0, 0).

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Множество решений первого неравенства — это круг с центром в (0, 0), а второго — сама точка (0, 0). Пересечением этих множеств является точка (0, 0).

Изображением множества решений системы является точка в начале координат.

Ответ: Множество решений системы состоит из одной точки (0, 0).

б)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ |y| - |x| \le 0 \end{cases} $$ Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает замкнутый круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = 3$.

Второе неравенство $|y| - |x| \le 0$ можно переписать в виде $|y| \le |x|$. Это неравенство задает на плоскости область, симметричную относительно обеих координатных осей. Чтобы построить эту область, рассмотрим ее в первой координатной четверти, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$. В этом случае неравенство принимает вид $y \le x$. Это часть первой четверти, расположенная на и ниже прямой $y=x$. Используя симметрию относительно осей координат, получаем, что множество решений неравенства $|y| \le |x|$ — это область, заключенная между прямыми $y = x$ и $y = -x$ (включая сами прямые), которая содержит ось абсцисс (Ox).

Решением системы является пересечение этих двух множеств: круга $x^2 + y^2 \le 9$ и области $|y| \le |x|$. Графически это множество представляет собой два замкнутых сектора круга с центром в начале координат и радиусом 3. Эти секторы ограничены отрезками прямых $y=x$ и $y=-x$ и дугами окружности $x^2+y^2=9$. Они расположены в области, где $|y| \le |x|$, то есть «горизонтально» по обе стороны от оси ординат (Oy).

Ответ: Множество решений — это два замкнутых сектора круга $x^2 + y^2 \le 9$, ограниченных прямыми $y=x$ и $y=-x$ и содержащих ось Ox.