Номер 898, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 898, страница 214.

Условие.

898. Докажите, что не имеет решений уравнение:

Решение 1.

Решение 8.

а) Рассмотрим уравнение $4x^2 + 4xy + y^2 + 1 = 0$. Выделим в левой части уравнения полный квадрат. Первые три слагаемых $4x^2 + 4xy + y^2$ представляют собой квадрат суммы. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a^2 = 4x^2$, значит $a=2x$, и $b^2 = y^2$, значит $b=y$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot y = 4xy$. Это совпадает с нашим уравнением. Таким образом, $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x+y)^2$. Подставим это выражение обратно в уравнение: $(2x+y)^2 + 1 = 0$. Выражение $(2x+y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(2x+y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$. Следовательно, левая часть уравнения $(2x+y)^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1: $(2x+y)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Значение левой части уравнения никогда не может быть равно нулю.
Ответ: Уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда строго больше нуля.

б) Рассмотрим уравнение $x^2 - 6xy + 9y^2 + 2 = 0$. Выделим в левой части уравнения полный квадрат. Первые три слагаемых $x^2 - 6xy + 9y^2$ представляют собой квадрат разности. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a=x$, и $b^2 = 9y^2$, значит $b=3y$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot (3y) = 6xy$. Это совпадает с нашим уравнением. Таким образом, $x^2 - 6xy + 9y^2 = (x-3y)^2$. Подставим это выражение обратно в уравнение: $(x-3y)^2 + 2 = 0$. Выражение $(x-3y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x-3y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$. Следовательно, левая часть уравнения $(x-3y)^2 + 2$ всегда будет больше или равна 2: $(x-3y)^2 + 2 \ge 0 + 2 = 2$. Значение левой части уравнения никогда не может быть равно нулю.
Ответ: Уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда строго больше нуля.

в) Рассмотрим уравнение $x^2 + y^2 + 4x + 5 = 0$. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и выделим полный квадрат: $(x^2 + 4x) + y^2 + 5 = 0$. Для выделения полного квадрата из выражения $x^2 + 4x$ добавим и вычтем $(\frac{4}{2})^2 = 4$: $(x^2 + 4x + 4) - 4 + y^2 + 5 = 0$. Выражение в скобках является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Подставим его в уравнение: $(x+2)^2 - 4 + y^2 + 5 = 0$. Приведем подобные слагаемые (константы): $(x+2)^2 + y^2 + 1 = 0$. В левой части уравнения мы имеем сумму двух квадратов и положительного числа. Выражения $(x+2)^2$ и $y^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны: $(x+2)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $(x+2)^2 + y^2 \ge 0$. Следовательно, вся левая часть уравнения $(x+2)^2 + y^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1: $(x+2)^2 + y^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Значение левой части уравнения никогда не может быть равно нулю.
Ответ: Уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда строго больше нуля.

г) Рассмотрим уравнение $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 6 = 0$. Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$ и выделим полные квадраты: $(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 6 = 0$. Для выражения $x^2 - 2x$ добавим и вычтем $(\frac{-2}{2})^2 = 1$: $(x^2 - 2x + 1) - 1$. Это равно $(x-1)^2 - 1$. Для выражения $y^2 - 4y$ добавим и вычтем $(\frac{-4}{2})^2 = 4$: $(y^2 - 4y + 4) - 4$. Это равно $(y-2)^2 - 4$. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $((x-1)^2 - 1) + ((y-2)^2 - 4) + 6 = 0$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $(x-1)^2 + (y-2)^2 - 1 - 4 + 6 = 0$. $(x-1)^2 + (y-2)^2 + 1 = 0$. В левой части уравнения мы получили сумму двух квадратов и положительного числа. Выражения $(x-1)^2$ и $(y-2)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны: $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y-2)^2 \ge 0$. Их сумма также неотрицательна: $(x-1)^2 + (y-2)^2 \ge 0$. Следовательно, вся левая часть уравнения $(x-1)^2 + (y-2)^2 + 1$ всегда будет больше или равна 1: $(x-1)^2 + (y-2)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Значение левой части уравнения никогда не может быть равно нулю.
Ответ: Уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда строго больше нуля.