Номер 892, страница 214 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 892, страница 214.

Условие.

892. Изобразите множество решений неравенства:

Решение 1.

Решение 8.

а) $y \le \frac{10}{|x|}$

Сначала рассмотрим границу множества решений — график функции $y = \frac{10}{|x|}$.

Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Это означает, что прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой и не входит в множество решений.

Так как в знаменателе стоит модуль $|x|$, функция является четной ($y(-x) = y(x)$), и ее график симметричен относительно оси OY.

Рассмотрим случай $x > 0$: $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \frac{10}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти.

В силу симметрии, при $x < 0$ график будет таким же, как и при $x > 0$. Действительно, при $x < 0$, $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = \frac{10}{-x}$, что является ветвью гиперболы во второй координатной четверти.

Исходное неравенство $y \le \frac{10}{|x|}$ означает, что решением являются все точки координатной плоскости, ординаты которых ($y$) меньше или равны значениям на графике $y = \frac{10}{|x|}$ при соответствующем значении $x$. Геометрически это соответствует области, расположенной ниже графика функции $y = \frac{10}{|x|}$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки, лежащие на самой кривой, также являются решениями. Поэтому граница изображается сплошной линией.

Ответ: Множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, для которых $x \neq 0$ и $y \le \frac{10}{|x|}$. Геометрически это область, расположенная под ветвями гиперболы $y = \frac{10}{|x|}$, включая сами ветви.

б) $y + \left|\frac{8}{x}\right| \ge 0$

Преобразуем неравенство. Так как $\left|\frac{8}{x}\right| = \frac{8}{|x|}$, получаем $y + \frac{8}{|x|} \ge 0$. Выразим $y$:

$y \ge -\frac{8}{|x|}$

Границей множества решений является график функции $y = -\frac{8}{|x|}$. Область определения: $x \neq 0$.

Функция является четной, ее график симметричен относительно оси OY.

При $x > 0$ получаем $y = -\frac{8}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в четвертой координатной четверти.

При $x < 0$ получаем $y = -\frac{8}{-x} = \frac{8}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти.

Неравенство $y \ge -\frac{8}{|x|}$ означает, что решением являются все точки, расположенные на графике функции $y = -\frac{8}{|x|}$ и выше него. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), граница включается в решение и изображается сплошной линией.

Ответ: Множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, для которых $x \neq 0$ и $y \ge -\frac{8}{|x|}$. Геометрически это область, расположенная над ветвями гиперболы $y = -\frac{8}{|x|}$, включая сами ветви.

в) $|y| - x^2 + 2x \le 1$

Перенесем слагаемые, чтобы выделить $|y|$:

$|y| \le x^2 - 2x + 1$

Заметим, что выражение в правой части является полным квадратом: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Неравенство принимает вид: $|y| \le (x-1)^2$.

Неравенство с модулем $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$. В нашем случае:

$-(x-1)^2 \le y \le (x-1)^2$

Это означает, что искомое множество точек на плоскости ограничено сверху параболой $y = (x-1)^2$ и снизу параболой $y = -(x-1)^2$.

• $y = (x-1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, ветви которой направлены вверх.
• $y = -(x-1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, ветви которой направлены вниз.

Поскольку неравенства нестрогие, границы (сами параболы) включаются в множество решений.

Ответ: Множество точек плоскости, заключенных между параболами $y = (x-1)^2$ и $y = -(x-1)^2$, включая точки на самих параболах.

г) $|y| + x^2 - 4x \ge 4$

Выразим $|y|$ из неравенства:

$|y| \ge -x^2 + 4x + 4$

Чтобы упростить выражение справа, выделим полный квадрат:

$-x^2 + 4x + 4 = -(x^2 - 4x) + 4 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 4 = -(x-2)^2 + 4 + 4 = -(x-2)^2 + 8$.

Неравенство принимает вид: $|y| \ge -(x-2)^2 + 8$.

Неравенство вида $|a| \ge b$ равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge b$ или $a \le -b$. Таким образом, получаем:

$y \ge -(x-2)^2 + 8$ или $y \le - (-(x-2)^2 + 8)$, что упрощается до $y \le (x-2)^2 - 8$.

Множество решений является объединением решений этих двух неравенств.

• Неравенство $y \ge -(x-2)^2 + 8$ описывает все точки, лежащие на параболе $y = -(x-2)^2 + 8$ и выше нее. Это парабола с вершиной в $(2, 8)$, ветвями вниз.
• Неравенство $y \le (x-2)^2 - 8$ описывает все точки, лежащие на параболе $y = (x-2)^2 - 8$ и ниже нее. Это парабола с вершиной в $(2, -8)$, ветвями вверх.

Так как неравенство нестрогое ($\ge$), границы (сами параболы) включаются в решение. Искомое множество — это все точки "вне" области, заключенной между этими двумя параболами.

Ответ: Объединение двух множеств точек: всех точек $(x,y)$, удовлетворяющих условию $y \ge -(x-2)^2 + 8$, и всех точек, удовлетворяющих условию $y \le (x-2)^2 - 8$. Геометрически это область над параболой $y = -(x-2)^2 + 8$ и область под параболой $y = (x-2)^2 - 8$, включая сами параболы.