Номер 885, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 885, страница 213.

Условие.

885. Трёхзначное число x, кратное 5, можно представить в виде суммы куба и квадрата одного и того же натурального числа. Найдите число x.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x$ — искомое трёхзначное число, а $n$ — натуральное число, о котором говорится в условии. Согласно условию, число $x$ можно представить в виде суммы куба и квадрата числа $n$: $x = n^3 + n^2$

Выражение для $x$ можно разложить на множители для удобства вычислений: $x = n^2(n+1)$

Известно, что $x$ — это трёхзначное число, что означает $100 \le x \le 999$. Найдём, при каких натуральных значениях $n$ это условие выполняется. Проверим граничные значения $n$:

• При $n=4$, $x = 4^2(4+1) = 16 \cdot 5 = 80$ (ещё двузначное число).
• При $n=5$, $x = 5^2(5+1) = 25 \cdot 6 = 150$ (первое подходящее трёхзначное число).
• При $n=9$, $x = 9^2(9+1) = 81 \cdot 10 = 810$ (всё ещё трёхзначное число).
• При $n=10$, $x = 10^2(10+1) = 100 \cdot 11 = 1100$ (уже четырёхзначное число).

Следовательно, искомые значения $n$ находятся в диапазоне от 5 до 9 включительно.

Также по условию задачи число $x$ кратно 5. Произведение $x = n^2(n+1)$ будет кратно 5 в том случае, если хотя бы один из множителей ($n$ или $n+1$) будет кратен 5 (поскольку 5 — простое число, то кратность $n^2$ пяти равносильна кратности $n$ пяти).

Проверим все возможные значения $n$ из диапазона $[5, 6, 7, 8, 9]$:

• Для $n=5$: число $n$ кратно 5. Вычисляем $x = 150$. Это число является трёхзначным и кратным 5, поэтому оно удовлетворяет всем условиям.
• Для $n=6$: ни само число $n=6$, ни $n+1=7$ не кратны 5.
• Для $n=7$: ни само число $n=7$, ни $n+1=8$ не кратны 5.
• Для $n=8$: ни само число $n=8$, ни $n+1=9$ не кратны 5.
• Для $n=9$: число $n+1=10$ кратно 5. Вычисляем $x = 810$. Это число также является трёхзначным и кратным 5, поэтому оно тоже удовлетворяет всем условиям.

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют два числа: 150 и 810.

Ответ: 150, 810.