Номер 883, страница 213 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 883, страница 213.

Условие.

883. Докажите, что значение выражения

(5 + 10ⁿ ⁺ ¹ + 1)(1 + 10 + ... + 10ⁿ) + 1

при любом натуральном n можно представить в виде квадрата натурального числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства преобразуем данное выражение. Обозначим его за $A$: $A = (5 + 10^{n+1})(1 + 10 + \dots + 10^n) + 1$

Вторая скобка представляет собой сумму $n+1$ членов геометрической прогрессии, у которой первый член $b_1 = 1$ и знаменатель $q = 10$. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $S_k = \frac{b_1(q^k - 1)}{q - 1}$. В нашем случае количество членов $k = n+1$.

$1 + 10 + \dots + 10^n = \frac{1 \cdot (10^{n+1} - 1)}{10 - 1} = \frac{10^{n+1} - 1}{9}$

Теперь подставим это значение в исходное выражение для $A$: $A = (5 + 10^{n+1}) \cdot \frac{10^{n+1} - 1}{9} + 1$

Чтобы упростить дальнейшие выкладки, введем временную замену. Пусть $x = 10^{n+1}$. Тогда выражение примет вид: $A = (5 + x) \cdot \frac{x - 1}{9} + 1$

Выполним алгебраические преобразования, приводя всё к общему знаменателю: $A = \frac{(5 + x)(x - 1)}{9} + \frac{9}{9} = \frac{5x - 5 + x^2 - x + 9}{9} = \frac{x^2 + 4x + 4}{9}$

Мы видим, что числитель дроби является формулой квадрата суммы: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Следовательно, выражение для $A$ можно записать в виде: $A = \frac{(x+2)^2}{9} = \left(\frac{x+2}{3}\right)^2$

Произведем обратную замену, подставив $x = 10^{n+1}$: $A = \left(\frac{10^{n+1} + 2}{3}\right)^2$

Мы представили исходное выражение в виде квадрата некоторого числа. Теперь осталось доказать, что это число является натуральным. Для этого необходимо показать, что $\frac{10^{n+1} + 2}{3}$ является целым и положительным числом при любом натуральном $n$.

Проверим делимость числителя $10^{n+1} + 2$ на 3. Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Число $10^{n+1}$ — это 1 с $n+1$ нулями ($100\dots0$). Сумма его цифр равна 1. Число $10^{n+1} + 2$ имеет вид $100\dots02$ (между 1 и 2 стоит $n$ нулей). Сумма цифр этого числа равна $1 + \underbrace{0 + \dots + 0}_{n \text{ раз}} + 2 = 3$. Поскольку сумма цифр (3) делится на 3, то и само число $10^{n+1} + 2$ делится на 3 без остатка при любом натуральном $n$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $10^{n+1} + 2$ всегда будет положительным числом. Значит, частное $\frac{10^{n+1} + 2}{3}$ является натуральным числом.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение при любом натуральном $n$ можно представить в виде квадрата натурального числа. Что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное выражение равно $\left(\frac{10^{n+1} + 2}{3}\right)^2$. Так как при любом натуральном $n$ число $10^{n+1} + 2$ делится на 3, то выражение $\frac{10^{n+1} + 2}{3}$ является натуральным числом. Следовательно, исходное выражение всегда является квадратом натурального числа.