Номер 880, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 880, страница 212.
№880 (с. 212)
Условие. №880 (с. 212)
скриншот условия

880. Решите в натуральных числах систему уравнений

Решение 1. №880 (с. 212)


Решение 2. №880 (с. 212)

Решение 3. №880 (с. 212)

Решение 4. №880 (с. 212)

Решение 5. №880 (с. 212)

Решение 7. №880 (с. 212)

Решение 8. №880 (с. 212)
Дана система уравнений, которую необходимо решить в натуральных числах ($x, y, z \in \mathbb{N}$):
$ \begin{cases} x + y + z = 14, \\ x + yz = 19. \end{cases} $
Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $x$ и получить уравнение с двумя переменными $y$ и $z$.
$(x + yz) - (x + y + z) = 19 - 14$
$yz - y - z = 5$
Полученное уравнение является диофантовым. Для его решения воспользуемся методом разложения на множители. Прибавим 1 к обеим частям уравнения:
$yz - y - z + 1 = 5 + 1$
Вынесем общие множители за скобки:
$y(z - 1) - 1(z - 1) = 6$
$(y - 1)(z - 1) = 6$
По условию задачи, $y$ и $z$ — натуральные числа, то есть $y \ge 1$ и $z \ge 1$. Это означает, что выражения $(y-1)$ и $(z-1)$ являются целыми неотрицательными числами. Поскольку их произведение равно 6 (положительное число), ни один из множителей не может быть равен нулю. Таким образом, $y-1 > 0$ и $z-1 > 0$.
Теперь нам нужно найти все пары целых положительных чисел, произведение которых равно 6. Рассмотрим все возможные комбинации для множителей $(y-1)$ и $(z-1)$:
- 1 и 6
- 2 и 3
- 3 и 2
- 6 и 1
Рассмотрим последовательно каждый из этих случаев.
Случай 1: $y - 1 = 1$ и $z - 1 = 6$.
Из этих уравнений находим $y = 2$ и $z = 7$.
Теперь найдем $x$, подставив значения $y$ и $z$ в первое уравнение исходной системы $x + y + z = 14$:
$x + 2 + 7 = 14 \implies x + 9 = 14 \implies x = 5$.
Получили решение $(5, 2, 7)$. Все переменные являются натуральными числами. Проверим это решение по второму уравнению $x + yz = 19$:
$5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19$. Уравнение выполняется. Значит, $(5, 2, 7)$ — это верное решение.
Случай 2: $y - 1 = 2$ и $z - 1 = 3$.
Находим $y = 3$ и $z = 4$.
Подставляем в первое уравнение: $x + 3 + 4 = 14 \implies x + 7 = 14 \implies x = 7$.
Получили решение $(7, 3, 4)$. Проверяем по второму уравнению:
$7 + 3 \cdot 4 = 7 + 12 = 19$. Уравнение выполняется. Значит, $(7, 3, 4)$ — это верное решение.
Случай 3: $y - 1 = 3$ и $z - 1 = 2$.
Находим $y = 4$ и $z = 3$.
Подставляем в первое уравнение: $x + 4 + 3 = 14 \implies x + 7 = 14 \implies x = 7$.
Получили решение $(7, 4, 3)$. Проверяем по второму уравнению:
$7 + 4 \cdot 3 = 7 + 12 = 19$. Уравнение выполняется. Значит, $(7, 4, 3)$ — это верное решение.
Случай 4: $y - 1 = 6$ и $z - 1 = 1$.
Находим $y = 7$ и $z = 2$.
Подставляем в первое уравнение: $x + 7 + 2 = 14 \implies x + 9 = 14 \implies x = 5$.
Получили решение $(5, 7, 2)$. Проверяем по второму уравнению:
$5 + 7 \cdot 2 = 5 + 14 = 19$. Уравнение выполняется. Значит, $(5, 7, 2)$ — это верное решение.
Мы рассмотрели все возможные варианты для натуральных $y$ и $z$. Других решений в натуральных числах нет.
Ответ: $(5, 2, 7)$, $(7, 3, 4)$, $(7, 4, 3)$, $(5, 7, 2)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 880 расположенного на странице 212 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №880 (с. 212), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.