Номер 880, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 880, страница 212.

Условие.

880. Решите в натуральных числах систему уравнений

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дана система уравнений, которую необходимо решить в натуральных числах ($x, y, z \in \mathbb{N}$):

$ \begin{cases} x + y + z = 14, \\ x + yz = 19. \end{cases} $

Для решения системы вычтем первое уравнение из второго. Это позволит нам исключить переменную $x$ и получить уравнение с двумя переменными $y$ и $z$.

$(x + yz) - (x + y + z) = 19 - 14$

$yz - y - z = 5$

Полученное уравнение является диофантовым. Для его решения воспользуемся методом разложения на множители. Прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$yz - y - z + 1 = 5 + 1$

Вынесем общие множители за скобки:

$y(z - 1) - 1(z - 1) = 6$

$(y - 1)(z - 1) = 6$

По условию задачи, $y$ и $z$ — натуральные числа, то есть $y \ge 1$ и $z \ge 1$. Это означает, что выражения $(y-1)$ и $(z-1)$ являются целыми неотрицательными числами. Поскольку их произведение равно 6 (положительное число), ни один из множителей не может быть равен нулю. Таким образом, $y-1 > 0$ и $z-1 > 0$.

Теперь нам нужно найти все пары целых положительных чисел, произведение которых равно 6. Рассмотрим все возможные комбинации для множителей $(y-1)$ и $(z-1)$:

• 1 и 6
• 2 и 3
• 3 и 2
• 6 и 1

Рассмотрим последовательно каждый из этих случаев.

Случай 1: $y - 1 = 1$ и $z - 1 = 6$.

Из этих уравнений находим $y = 2$ и $z = 7$.

Теперь найдем $x$, подставив значения $y$ и $z$ в первое уравнение исходной системы $x + y + z = 14$:

$x + 2 + 7 = 14 \implies x + 9 = 14 \implies x = 5$.

Получили решение $(5, 2, 7)$. Все переменные являются натуральными числами. Проверим это решение по второму уравнению $x + yz = 19$:

$5 + 2 \cdot 7 = 5 + 14 = 19$. Уравнение выполняется. Значит, $(5, 2, 7)$ — это верное решение.

Случай 2: $y - 1 = 2$ и $z - 1 = 3$.

Находим $y = 3$ и $z = 4$.

Подставляем в первое уравнение: $x + 3 + 4 = 14 \implies x + 7 = 14 \implies x = 7$.

Получили решение $(7, 3, 4)$. Проверяем по второму уравнению:

$7 + 3 \cdot 4 = 7 + 12 = 19$. Уравнение выполняется. Значит, $(7, 3, 4)$ — это верное решение.

Случай 3: $y - 1 = 3$ и $z - 1 = 2$.

Находим $y = 4$ и $z = 3$.

Подставляем в первое уравнение: $x + 4 + 3 = 14 \implies x + 7 = 14 \implies x = 7$.

Получили решение $(7, 4, 3)$. Проверяем по второму уравнению:

$7 + 4 \cdot 3 = 7 + 12 = 19$. Уравнение выполняется. Значит, $(7, 4, 3)$ — это верное решение.

Случай 4: $y - 1 = 6$ и $z - 1 = 1$.

Находим $y = 7$ и $z = 2$.

Подставляем в первое уравнение: $x + 7 + 2 = 14 \implies x + 9 = 14 \implies x = 5$.

Получили решение $(5, 7, 2)$. Проверяем по второму уравнению:

$5 + 7 \cdot 2 = 5 + 14 = 19$. Уравнение выполняется. Значит, $(5, 7, 2)$ — это верное решение.

Мы рассмотрели все возможные варианты для натуральных $y$ и $z$. Других решений в натуральных числах нет.

Ответ: $(5, 2, 7)$, $(7, 3, 4)$, $(7, 4, 3)$, $(5, 7, 2)$.