Номер 873, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 873, страница 212.

Условие.

873. Три различных целых числа составляют геометрическую прогрессию. Их сумма равна –3. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть три различных целых числа, составляющие геометрическую прогрессию, это $b_1$, $b_2$ и $b_3$.Обозначим первый член прогрессии как $b$, а знаменатель прогрессии как $q$. Тогда члены прогрессии можно записать в виде:$b_1 = b$, $b_2 = bq$, $b_3 = bq^2$.

По условию задачи, эти числа являются различными целыми числами, и их сумма равна -3. Запишем это в виде уравнения:$b + bq + bq^2 = -3$

Вынесем $b$ за скобки:$b(1 + q + q^2) = -3$

Так как $b$, $bq$ и $bq^2$ — целые числа, то $b$ должно быть целым числом. Из уравнения следует, что $b$ является делителем числа -3. Возможные целые значения для $b$: $1, -1, 3, -3$.Знаменатель $q$ должен быть рациональным числом, так как $q = b_2/b_1$.Рассмотрим каждый возможный случай для $b$.

Случай 1: $b = 1$.
Подставим это значение в уравнение: $1 \cdot (1 + q + q^2) = -3$, что приводит к квадратному уравнению $q^2 + q + 4 = 0$.Дискриминант этого уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$.Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней для $q$. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2: $b = -1$.
Подставим это значение в уравнение: $-1 \cdot (1 + q + q^2) = -3$, что равносильно $1 + q + q^2 = 3$, или $q^2 + q - 2 = 0$.Это уравнение можно разложить на множители: $(q + 2)(q - 1) = 0$.Отсюда получаем два возможных значения для $q$: $q_1 = 1$ и $q_2 = -2$.Если $q = 1$, то члены прогрессии: $b_1 = -1, b_2 = -1, b_3 = -1$. Эти числа не являются различными, что противоречит условию.Если $q = -2$, то члены прогрессии: $b_1 = -1$, $b_2 = -1 \cdot (-2) = 2$, $b_3 = -1 \cdot (-2)^2 = -4$.Мы получили числа: $-1, 2, -4$. Они являются различными целыми числами. Их сумма: $-1 + 2 + (-4) = -3$. Это решение удовлетворяет всем условиям.

Случай 3: $b = 3$.
Подставим это значение: $3 \cdot (1 + q + q^2) = -3$, что приводит к $q^2 + q + 2 = 0$.Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.Так как $D < 0$, действительных корней нет, и этот случай невозможен.

Случай 4: $b = -3$.
Подставим это значение: $-3 \cdot (1 + q + q^2) = -3$, что приводит к $1 + q + q^2 = 1$, или $q^2 + q = 0$.Разложим на множители: $q(q + 1) = 0$.Возможные значения для $q$: $q_1 = 0$ и $q_2 = -1$.Если $q = 0$, то числа: $-3, 0, 0$. Они не различны.Если $q = -1$, то числа: $-3, 3, -3$. Они также не являются различными.Следовательно, и этот случай не дает решения.

Единственный набор чисел, который удовлетворяет всем условиям задачи, это $\{-1, 2, -4\}$. Порядок чисел может быть разным (например, $-4, 2, -1$ при $b=-4$ и $q=-1/2$), но сам набор чисел остается тем же.

Ответ: -1, 2, -4.