Номер 870, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 870, страница 212.

Условие.

870. В арифметической прогрессии a₁, a₂, a₃, a₄, состоящей из целых чисел, наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_1, a_2, a_3, a_4$, состоящая из целых чисел. Обозначим разность прогрессии как $d$. Так как все члены прогрессии являются целыми числами, их разность $d = a_2 - a_1$ также должна быть целым числом. Члены прогрессии можно выразить через первый член $a_1$ и разность $d$: $a_2 = a_1 + d$, $a_3 = a_1 + 2d$, $a_4 = a_1 + 3d$.

По условию, наибольший член прогрессии равен сумме квадратов остальных трех членов. Рассмотрим три возможных случая для разности прогрессии $d$.

Случай 1: $d > 0$

Если разность прогрессии положительна, то прогрессия является возрастающей: $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$. Наибольшим членом будет $a_4$. Согласно условию, имеем уравнение: $a_4 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$ Подставим выражения для членов прогрессии через $a_1$ и $d$: $a_1 + 3d = a_1^2 + (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2$ Раскроем скобки и упростим выражение: $a_1 + 3d = a_1^2 + (a_1^2 + 2a_1d + d^2) + (a_1^2 + 4a_1d + 4d^2)$ $a_1 + 3d = 3a_1^2 + 6a_1d + 5d^2$ Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно $a_1$: $3a_1^2 + (6d - 1)a_1 + (5d^2 - 3d) = 0$ Так как $a_1$ должно быть целым числом, дискриминант этого уравнения $D$ должен быть полным квадратом целого числа. $D = (6d - 1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (5d^2 - 3d) = (36d^2 - 12d + 1) - 12(5d^2 - 3d) = 36d^2 - 12d + 1 - 60d^2 + 36d = -24d^2 + 24d + 1$ Мы ищем целые положительные значения $d$, при которых $D$ является полным квадратом. Проверим $d = 1$: $D = -24(1)^2 + 24(1) + 1 = -24 + 24 + 1 = 1 = 1^2$. Это полный квадрат. При $d \ge 2$, выражение $-24d^2 + 24d + 1$ будет отрицательным, так как это парабола с ветвями вниз, достигающая максимума при $d=0.5$. Таким образом, единственное подходящее значение — это $d=1$. Подставим $d=1$ и $D=1$ в формулу для корней квадратного уравнения: $a_1 = \frac{-(6d - 1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{-(6 \cdot 1 - 1) \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{-5 \pm 1}{6}$ Получаем два возможных значения для $a_1$: $a_{1,1} = \frac{-5 + 1}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. Это не целое число, поэтому данное решение не подходит. $a_{1,2} = \frac{-5 - 1}{6} = -\frac{6}{6} = -1$. Это целое число. Найдем члены прогрессии для $a_1 = -1$ и $d = 1$: $a_1 = -1$, $a_2 = 0$, $a_3 = 1$, $a_4 = 2$. Прогрессия: -1, 0, 1, 2. Проверим условие: наибольший член $2$ равен сумме квадратов остальных: $(-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2$. Условие выполняется.

Случай 2: $d < 0$

Если разность прогрессии отрицательна, то прогрессия является убывающей: $a_1 > a_2 > a_3 > a_4$. Наибольшим членом будет $a_1$. Уравнение по условию: $a_1 = a_2^2 + a_3^2 + a_4^2$ Подставим выражения для членов прогрессии: $a_1 = (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2 + (a_1 + 3d)^2$ $a_1 = (a_1^2 + 2a_1d + d^2) + (a_1^2 + 4a_1d + 4d^2) + (a_1^2 + 6a_1d + 9d^2)$ $a_1 = 3a_1^2 + 12a_1d + 14d^2$ Приведем к квадратному уравнению относительно $a_1$: $3a_1^2 + (12d - 1)a_1 + 14d^2 = 0$ Найдем дискриминант $D$: $D = (12d - 1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (14d^2) = (144d^2 - 24d + 1) - 168d^2 = -24d^2 - 24d + 1$ Ищем целые отрицательные значения $d$, при которых $D$ является полным квадратом. Проверим $d = -1$: $D = -24(-1)^2 - 24(-1) + 1 = -24 + 24 + 1 = 1 = 1^2$. Это полный квадрат. При $d \le -2$, выражение $-24d^2 - 24d + 1$ будет отрицательным, так как это парабола с ветвями вниз, достигающая максимума при $d=-0.5$. Следовательно, единственное подходящее значение — это $d=-1$. Подставим $d=-1$ и $D=1$ в формулу для корней: $a_1 = \frac{-(12d - 1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{-(12(-1) - 1) \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{-(-13) \pm 1}{6} = \frac{13 \pm 1}{6}$ Получаем два возможных значения для $a_1$: $a_{1,1} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$. Не целое число. $a_{1,2} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$. Целое число. Найдем члены прогрессии для $a_1 = 2$ и $d = -1$: $a_1 = 2$, $a_2 = 1$, $a_3 = 0$, $a_4 = -1$. Прогрессия: 2, 1, 0, -1. Проверим условие: наибольший член $2$ равен сумме квадратов остальных: $1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2$. Условие выполняется.

Случай 3: $d = 0$

Если разность прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии равны: $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = a$. В этом случае любой член можно считать наибольшим. Уравнение принимает вид: $a = a^2 + a^2 + a^2$ $a = 3a^2$ $3a^2 - a = 0$ $a(3a - 1) = 0$ Отсюда $a = 0$ или $3a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1/3$. Поскольку члены прогрессии должны быть целыми, решение $a = 1/3$ не подходит. Остается $a = 0$. Прогрессия: 0, 0, 0, 0. Проверим условие: наибольший член $0$ равен сумме квадратов остальных: $0^2 + 0^2 + 0^2 = 0$. Условие выполняется.

Таким образом, мы нашли три возможные прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 0, 0, 0, 0; или -1, 0, 1, 2; или 2, 1, 0, -1.