Номер 870, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый

ISBN: 978-5-09-112135-3

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 9 классе

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 870, страница 212.

№870 (с. 212)
Условие. №870 (с. 212)
скриншот условия
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 212, номер 870, Условие

870. В арифметической прогрессии a₁, a₂, a₃, a₄, состоящей из целых чисел, наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.

Решение 1. №870 (с. 212)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 212, номер 870, Решение 1 Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 212, номер 870, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 212, номер 870, Решение 1 (продолжение 3)
Решение 2. №870 (с. 212)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 212, номер 870, Решение 2
Решение 3. №870 (с. 212)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 212, номер 870, Решение 3
Решение 4. №870 (с. 212)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 212, номер 870, Решение 4
Решение 5. №870 (с. 212)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 212, номер 870, Решение 5
Решение 7. №870 (с. 212)
Алгебра, 9 класс Учебник, авторы: Макарычев Юрий Николаевич, Миндюк Нора Григорьевна, Нешков Константин Иванович, Суворова Светлана Борисовна, издательство Просвещение, Москва, 2023, белого цвета, страница 212, номер 870,  Решение 7
Решение 8. №870 (с. 212)

Пусть дана арифметическая прогрессия $a_1, a_2, a_3, a_4$, состоящая из целых чисел. Обозначим разность прогрессии как $d$. Так как все члены прогрессии являются целыми числами, их разность $d = a_2 - a_1$ также должна быть целым числом. Члены прогрессии можно выразить через первый член $a_1$ и разность $d$: $a_2 = a_1 + d$, $a_3 = a_1 + 2d$, $a_4 = a_1 + 3d$.

По условию, наибольший член прогрессии равен сумме квадратов остальных трех членов. Рассмотрим три возможных случая для разности прогрессии $d$.

Случай 1: $d > 0$

Если разность прогрессии положительна, то прогрессия является возрастающей: $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$. Наибольшим членом будет $a_4$. Согласно условию, имеем уравнение: $a_4 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$ Подставим выражения для членов прогрессии через $a_1$ и $d$: $a_1 + 3d = a_1^2 + (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2$ Раскроем скобки и упростим выражение: $a_1 + 3d = a_1^2 + (a_1^2 + 2a_1d + d^2) + (a_1^2 + 4a_1d + 4d^2)$ $a_1 + 3d = 3a_1^2 + 6a_1d + 5d^2$ Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно $a_1$: $3a_1^2 + (6d - 1)a_1 + (5d^2 - 3d) = 0$ Так как $a_1$ должно быть целым числом, дискриминант этого уравнения $D$ должен быть полным квадратом целого числа. $D = (6d - 1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (5d^2 - 3d) = (36d^2 - 12d + 1) - 12(5d^2 - 3d) = 36d^2 - 12d + 1 - 60d^2 + 36d = -24d^2 + 24d + 1$ Мы ищем целые положительные значения $d$, при которых $D$ является полным квадратом. Проверим $d = 1$: $D = -24(1)^2 + 24(1) + 1 = -24 + 24 + 1 = 1 = 1^2$. Это полный квадрат. При $d \ge 2$, выражение $-24d^2 + 24d + 1$ будет отрицательным, так как это парабола с ветвями вниз, достигающая максимума при $d=0.5$. Таким образом, единственное подходящее значение — это $d=1$. Подставим $d=1$ и $D=1$ в формулу для корней квадратного уравнения: $a_1 = \frac{-(6d - 1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{-(6 \cdot 1 - 1) \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{-5 \pm 1}{6}$ Получаем два возможных значения для $a_1$: $a_{1,1} = \frac{-5 + 1}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. Это не целое число, поэтому данное решение не подходит. $a_{1,2} = \frac{-5 - 1}{6} = -\frac{6}{6} = -1$. Это целое число. Найдем члены прогрессии для $a_1 = -1$ и $d = 1$: $a_1 = -1$, $a_2 = 0$, $a_3 = 1$, $a_4 = 2$. Прогрессия: -1, 0, 1, 2. Проверим условие: наибольший член $2$ равен сумме квадратов остальных: $(-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2$. Условие выполняется.

Случай 2: $d < 0$

Если разность прогрессии отрицательна, то прогрессия является убывающей: $a_1 > a_2 > a_3 > a_4$. Наибольшим членом будет $a_1$. Уравнение по условию: $a_1 = a_2^2 + a_3^2 + a_4^2$ Подставим выражения для членов прогрессии: $a_1 = (a_1 + d)^2 + (a_1 + 2d)^2 + (a_1 + 3d)^2$ $a_1 = (a_1^2 + 2a_1d + d^2) + (a_1^2 + 4a_1d + 4d^2) + (a_1^2 + 6a_1d + 9d^2)$ $a_1 = 3a_1^2 + 12a_1d + 14d^2$ Приведем к квадратному уравнению относительно $a_1$: $3a_1^2 + (12d - 1)a_1 + 14d^2 = 0$ Найдем дискриминант $D$: $D = (12d - 1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (14d^2) = (144d^2 - 24d + 1) - 168d^2 = -24d^2 - 24d + 1$ Ищем целые отрицательные значения $d$, при которых $D$ является полным квадратом. Проверим $d = -1$: $D = -24(-1)^2 - 24(-1) + 1 = -24 + 24 + 1 = 1 = 1^2$. Это полный квадрат. При $d \le -2$, выражение $-24d^2 - 24d + 1$ будет отрицательным, так как это парабола с ветвями вниз, достигающая максимума при $d=-0.5$. Следовательно, единственное подходящее значение — это $d=-1$. Подставим $d=-1$ и $D=1$ в формулу для корней: $a_1 = \frac{-(12d - 1) \pm \sqrt{D}}{2 \cdot 3} = \frac{-(12(-1) - 1) \pm \sqrt{1}}{6} = \frac{-(-13) \pm 1}{6} = \frac{13 \pm 1}{6}$ Получаем два возможных значения для $a_1$: $a_{1,1} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$. Не целое число. $a_{1,2} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$. Целое число. Найдем члены прогрессии для $a_1 = 2$ и $d = -1$: $a_1 = 2$, $a_2 = 1$, $a_3 = 0$, $a_4 = -1$. Прогрессия: 2, 1, 0, -1. Проверим условие: наибольший член $2$ равен сумме квадратов остальных: $1^2 + 0^2 + (-1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2$. Условие выполняется.

Случай 3: $d = 0$

Если разность прогрессии равна нулю, то все члены прогрессии равны: $a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = a$. В этом случае любой член можно считать наибольшим. Уравнение принимает вид: $a = a^2 + a^2 + a^2$ $a = 3a^2$ $3a^2 - a = 0$ $a(3a - 1) = 0$ Отсюда $a = 0$ или $3a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1/3$. Поскольку члены прогрессии должны быть целыми, решение $a = 1/3$ не подходит. Остается $a = 0$. Прогрессия: 0, 0, 0, 0. Проверим условие: наибольший член $0$ равен сумме квадратов остальных: $0^2 + 0^2 + 0^2 = 0$. Условие выполняется.

Таким образом, мы нашли три возможные прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: 0, 0, 0, 0; или -1, 0, 1, 2; или 2, 1, 0, -1.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 870 расположенного на странице 212 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №870 (с. 212), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.