Номер 867, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 867, страница 211.

Условие.

867. Найдите сумму первых n членов последовательности (xₙ), если

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти сумму первых $n$ членов последовательности $S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$, где $x_n = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$, необходимо представить общий член последовательности $x_k$ в виде, удобном для суммирования. Часто в таких случаях помогает разложение дроби на простейшие (элементарные) дроби.

Представим дробь $\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$ в виде суммы двух дробей:

$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{A}{2k - 1} + \frac{B}{2k + 1}$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{A(2k + 1) + B(2k - 1)}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{(2A + 2B)k + (A - B)}{(2k - 1)(2k + 1)}$

Приравнивая числители исходной и полученной дробей, получаем тождество:

$1 = (2A + 2B)k + (A - B)$

Это равенство должно выполняться для всех значений $k$. Это возможно только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях $k$ в обеих частях равны. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2A + 2B = 0 & \text{(коэффициент при } k\text{)} \\ A - B = 1 & \text{(свободный член)} \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $A = -B$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$A - (-A) = 1 \implies 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}$

Тогда $B = -A = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, общий член последовательности можно записать в виде:

$x_k = \frac{1/2}{2k - 1} - \frac{1/2}{2k + 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Теперь запишем сумму $S_n$:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Распишем члены этой суммы, чтобы увидеть закономерность:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{1}{2 \cdot 1 + 1} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 2 - 1} - \frac{1}{2 \cdot 2 + 1} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right]$

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right]$

Это так называемая телескопическая сумма. Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{3}$ сокращается с $+\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{5}$ с $+\frac{1}{5}$ и так далее. В итоге в скобках останется только первый член первого слагаемого и последний член последнего слагаемого:

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} \right)$

Теперь упростим полученное выражение:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n + 1 - 1}{2n + 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n + 1} = \frac{n}{2n + 1}$

Ответ: $S_n = \frac{n}{2n + 1}$