Номер 867, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 867, страница 211.
№867 (с. 211)
Условие. №867 (с. 211)
скриншот условия

867. Найдите сумму первых n членов последовательности (xₙ), если

Решение 1. №867 (с. 211)

Решение 2. №867 (с. 211)

Решение 3. №867 (с. 211)

Решение 4. №867 (с. 211)

Решение 5. №867 (с. 211)

Решение 7. №867 (с. 211)

Решение 8. №867 (с. 211)
Для того чтобы найти сумму первых $n$ членов последовательности $S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$, где $x_n = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$, необходимо представить общий член последовательности $x_k$ в виде, удобном для суммирования. Часто в таких случаях помогает разложение дроби на простейшие (элементарные) дроби.
Представим дробь $\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$ в виде суммы двух дробей:
$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{A}{2k - 1} + \frac{B}{2k + 1}$
Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{A(2k + 1) + B(2k - 1)}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{(2A + 2B)k + (A - B)}{(2k - 1)(2k + 1)}$
Приравнивая числители исходной и полученной дробей, получаем тождество:
$1 = (2A + 2B)k + (A - B)$
Это равенство должно выполняться для всех значений $k$. Это возможно только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях $k$ в обеих частях равны. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} 2A + 2B = 0 & \text{(коэффициент при } k\text{)} \\ A - B = 1 & \text{(свободный член)} \end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $A = -B$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$A - (-A) = 1 \implies 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}$
Тогда $B = -A = -\frac{1}{2}$.
Таким образом, общий член последовательности можно записать в виде:
$x_k = \frac{1/2}{2k - 1} - \frac{1/2}{2k + 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$
Теперь запишем сумму $S_n$:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$
Распишем члены этой суммы, чтобы увидеть закономерность:
$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{1}{2 \cdot 1 + 1} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 2 - 1} - \frac{1}{2 \cdot 2 + 1} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right]$
$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right]$
Это так называемая телескопическая сумма. Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{3}$ сокращается с $+\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{5}$ с $+\frac{1}{5}$ и так далее. В итоге в скобках останется только первый член первого слагаемого и последний член последнего слагаемого:
$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} \right)$
Теперь упростим полученное выражение:
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n + 1 - 1}{2n + 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n + 1} = \frac{n}{2n + 1}$
Ответ: $S_n = \frac{n}{2n + 1}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 867 расположенного на странице 211 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №867 (с. 211), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.