Номер 861, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

861. Найдите значение m, при котором корни уравнения образуют арифметическую прогрессию.

x³ – 9x² + mx – 15 = 0

Пусть корни кубического уравнения $x^3 - 9x^2 + mx - 15 = 0$, которые мы обозначим как $x_1, x_2, x_3$, образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что их можно представить в виде $a - d$, $a$ и $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии (один из корней), а $d$ — разность прогрессии.

Для решения задачи воспользуемся формулами Виета для кубического уравнения вида $x^3 + px^2 + qx + r = 0$:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -p$
2. Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = q$
3. Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -r$

В нашем уравнении $x^3 - 9x^2 + mx - 15 = 0$ коэффициенты равны $p = -9$, $q = m$, $r = -15$.
Применим первую формулу Виета, подставив в нее корни, выраженные через $a$ и $d$:
$(a - d) + a + (a + d) = -(-9)$
$3a = 9$
$a = 3$

Таким образом, мы нашли значение одного из корней — это $x_2 = a = 3$. Так как $x=3$ является корнем уравнения, он должен удовлетворять ему. Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы найти неизвестный коэффициент $m$:
$3^3 - 9 \cdot 3^2 + m \cdot 3 - 15 = 0$
$27 - 9 \cdot 9 + 3m - 15 = 0$
$27 - 81 + 3m - 15 = 0$
$-54 - 15 + 3m = 0$
$-69 + 3m = 0$
$3m = 69$
$m = 23$

Для проверки найдем остальные корни. Воспользуемся третьей формулой Виета (произведение корней):
$x_1x_2x_3 = -(-15) = 15$
$(a-d) \cdot a \cdot (a+d) = 15$
Подставим известное значение $a = 3$:
$(3-d) \cdot 3 \cdot (3+d) = 15$
$9 - d^2 = 5$
$d^2 = 4$, откуда $d = \pm 2$.
При $d=2$ корни равны $1, 3, 5$. При $d=-2$ корни равны $5, 3, 1$. В обоих случаях набор корней один и тот же.
Теперь проверим найденное значение $m$ по второй формуле Виета:
$m = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 3 + 5 + 15 = 23$.
Все условия выполняются.

Ответ: $m=23$