Номер 858, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

858. Решите систему уравнений

Определим область допустимых значений для переменных $x$ и $y$. Так как переменные находятся в знаменателе дроби, $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Из первого уравнения $ \sqrt[3]{\frac{x}{y}} + \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = 4,25 $ следует, что выражение $ \frac{x}{y} $ должно быть положительным, так как в противном случае, если $ \frac{x}{y} < 0 $, то и $ \sqrt[3]{\frac{x}{y}} $, и $ \sqrt[3]{\frac{y}{x}} $ будут отрицательными, и их сумма не может быть положительным числом 4,25. Положительность дроби $ \frac{x}{y} $ означает, что $x$ и $y$ имеют одинаковый знак. Из второго уравнения $x + y = 130$ следует, что их сумма положительна, поэтому и $x$, и $y$ должны быть положительными числами: $x > 0, y > 0$.

Для решения первого уравнения системы введем замену. Пусть $t = \sqrt[3]{\frac{x}{y}}$. Тогда $ \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = \frac{1}{t}$.

Подставив замену в первое уравнение, получим:

$t + \frac{1}{t} = 4,25$

Представим десятичное число 4,25 в виде обыкновенной дроби: $4,25 = 4\frac{25}{100} = 4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$

Умножим обе части на $4t$ (что допустимо, так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:

$4t^2 + 4 = 17t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$4t^2 - 17t + 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 15}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm 15}{8}$

$t_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$t_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Теперь вернемся к исходным переменным, рассмотрев два случая.

Случай 1: $t = 4$.

$\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 4$

Возводим обе части в куб:

$\frac{x}{y} = 4^3 \implies \frac{x}{y} = 64 \implies x = 64y$

Подставим полученное соотношение во второе уравнение системы $x + y = 130$:

$64y + y = 130$

$65y = 130$

$y = 2$

Теперь находим $x$:

$x = 64 \cdot 2 = 128$

Таким образом, первая пара решений: $(128; 2)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{4}$.

$\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = \frac{1}{4}$

Возводим обе части в куб:

$\frac{x}{y} = \left(\frac{1}{4}\right)^3 \implies \frac{x}{y} = \frac{1}{64} \implies y = 64x$

Подставим это соотношение во второе уравнение системы $x + y = 130$:

$x + 64x = 130$

$65x = 130$

$x = 2$

Теперь находим $y$:

$y = 64 \cdot 2 = 128$

Таким образом, вторая пара решений: $(2; 128)$.

Оба решения удовлетворяют условиям $x>0$ и $y>0$.

Ответ: $(128; 2), (2; 128)$.