Номер 854, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 854, страница 210.

Условие.

854. Найдите все решения системы

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Данная система уравнений является симметрической, так как она не меняется при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Такие системы удобно решать введением новых переменных на основе элементарных симметрических многочленов.

Пусть $S = x+y$ и $P = xy$.

Перепишем второе уравнение системы, $x + xy + y = 0$, через новые переменные:

$(x+y) + xy = 0$

$S + P = 0$, откуда $P = -S$.

Теперь преобразуем первое уравнение системы: $x^3 + x^3y^3 + y^3 = 12$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^3+y^3) + (xy)^3 = 12$.

Выразим каждую часть через $S$ и $P$:

$(xy)^3 = P^3$.

Сумму кубов $x^3+y^3$ выразим через $S$ и $P$ с помощью известного тождества:

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2-2xy-xy) = S(S^2-3P)$.

Подставим полученные выражения в первое уравнение:

$S(S^2-3P) + P^3 = 12$.

Теперь мы имеем систему уравнений для $S$ и $P$:

$$ \begin{cases} S(S^2-3P) + P^3 = 12 \\ P = -S \end{cases} $$

Подставим $P = -S$ из второго уравнения в первое:

$S(S^2-3(-S)) + (-S)^3 = 12$

$S(S^2+3S) - S^3 = 12$

$S^3 + 3S^2 - S^3 = 12$

$3S^2 = 12$

$S^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $S$: $S=2$ или $S=-2$. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $S=2$

Если $S=2$, то $P = -S = -2$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$. Мы имеем систему:

$$ \begin{cases} x+y = 2 \\ xy = -2 \end{cases} $$

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$:

$t^2 - 2t - 2 = 0$.

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, мы получаем две пары решений для $(x, y)$:

$(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3})$ и $(1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$.

Случай 2: $S=-2$

Если $S=-2$, то $P = -S = 2$.

Система для $x$ и $y$ принимает вид:

$$ \begin{cases} x+y = -2 \\ xy = 2 \end{cases} $$

Соответствующее квадратное уравнение $t^2 - St + P = 0$:

$t^2 - (-2)t + 2 = 0$

$t^2 + 2t + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае у системы нет действительных решений.

Объединяя результаты, получаем, что исходная система имеет две пары решений.

Ответ: $(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3})$, $(1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$.