Номер 851, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

851. Решите систему уравнений

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x + y)(8 - x) = 10, \\ (x + y)(y + 5) = 20. \end{cases} $

Заметим, что выражение $(x + y)$ является общим множителем в обоих уравнениях. Если предположить, что $(x + y) = 0$, то левые части обоих уравнений обращаются в ноль, в то время как правые части равны 10 и 20. Это приводит к неверным равенствам $0 = 10$ и $0 = 20$. Следовательно, выражение $(x + y)$ не может быть равно нулю, и мы можем разделить одно уравнение на другое.

Разделим второе уравнение системы на первое:

$\frac{(x + y)(y + 5)}{(x + y)(8 - x)} = \frac{20}{10}$

Сократив общий множитель $(x + y)$, получим:

$\frac{y + 5}{8 - x} = 2$

Отсюда можно выразить $y$ через $x$:

$y + 5 = 2(8 - x)$

$y + 5 = 16 - 2x$

$y = 11 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение исходной системы $(x + y)(8 - x) = 10$:

$(x + (11 - 2x))(8 - x) = 10$

$(11 - x)(8 - x) = 10$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$88 - 11x - 8x + x^2 = 10$

$x^2 - 19x + 88 - 10 = 0$

$x^2 - 19x + 78 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 78 = 361 - 312 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{19 - 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{19 + 7}{2} = \frac{26}{2} = 13$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя ранее выведенную зависимость $y = 11 - 2x$.

1. При $x_1 = 6$:

$y_1 = 11 - 2 \cdot 6 = 11 - 12 = -1$

Таким образом, первая пара решений: $(6, -1)$.

2. При $x_2 = 13$:

$y_2 = 11 - 2 \cdot 13 = 11 - 26 = -15$

Таким образом, вторая пара решений: $(13, -15)$.

Проверка подтверждает, что обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(6, -1), (13, -15)$.