Номер 852, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 852, страница 210.

Условие.

852. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2 + y^2)(x - y) = 447, \\ xy(x - y) = 210; \end{cases} $$

Заметим, что если $x - y = 0$, то второе уравнение примет вид $0 = 210$, что неверно. Следовательно, $x - y \neq 0$. Мы можем разделить одно уравнение на другое, но удобнее будет использовать метод замены переменных.

Введем замену: пусть $u = x - y$ и $v = xy$.

Выразим $x^2 + y^2$ через новые переменные. Из тождества $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ следует, что $u^2 = x^2 + y^2 - 2v$. Отсюда получаем $x^2 + y^2 = u^2 + 2v$.

Подставим эти выражения в исходную систему:

$$ \begin{cases} (u^2 + 2v)u = 447, \\ vu = 210; \end{cases} $$

Раскроем скобки в первом уравнении и получим систему:

$$ \begin{cases} u^3 + 2vu = 447, \\ vu = 210; \end{cases} $$

Теперь подставим значение $vu$ из второго уравнения в первое:

$u^3 + 2(210) = 447$

$u^3 + 420 = 447$

$u^3 = 447 - 420$

$u^3 = 27$

$u = 3$

Зная $u$, найдем $v$ из уравнения $vu = 210$:

$v \cdot 3 = 210$

$v = \frac{210}{3} = 70$

Теперь вернемся к исходным переменным. Мы получили систему:

$$ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 70; \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x = y + 3$ и подставим во второе:

$(y + 3)y = 70$

$y^2 + 3y - 70 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение $-70$. Подбором находим корни: $y_1 = 7$ и $y_2 = -10$.

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$:

1. Если $y_1 = 7$, то $x_1 = 7 + 3 = 10$.

2. Если $y_2 = -10$, то $x_2 = -10 + 3 = -7$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(10, 7), (-7, -10)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy(x + y) = 30, \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases} $$

Эта система является симметрической, так как уравнения не меняются при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Для решения таких систем удобно использовать замену на элементарные симметрические многочлены.

Пусть $a = x + y$ и $b = xy$.

Перепишем уравнения системы через $a$ и $b$. Первое уравнение принимает вид $ba = 30$.

Для второго уравнения используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Выразим $x^2+y^2$ через $a$ и $b$: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = a^2 - 2b$.

Тогда $x^3 + y^3 = a((a^2 - 2b) - b) = a(a^2 - 3b) = a^3 - 3ab$.

В новых переменных система выглядит следующим образом:

$$ \begin{cases} ab = 30, \\ a^3 - 3ab = 35; \end{cases} $$

Подставим значение $ab$ из первого уравнения во второе:

$a^3 - 3(30) = 35$

$a^3 - 90 = 35$

$a^3 = 125$

$a = 5$

Теперь найдем $b$ из уравнения $ab = 30$:

$5b = 30$

$b = \frac{30}{5} = 6$

Мы нашли значения $a$ и $b$. Вернемся к исходным переменным:

$$ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6; \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим найденные значения суммы и произведения:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим это уравнение. Корни легко находятся подбором (сумма 5, произведение 6) или разложением на множители: $(t - 2)(t - 3) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Это означает, что решениями исходной системы являются пары чисел $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.