Номер 856, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 856, страница 210.

Условие.

856. Решите уравнение (x² + x)⁴ – 1 = 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Данное уравнение $(x^2 + x)^4 - 1 = 0$ является биквадратным относительно выражения $x^2+x$. Для его решения удобно использовать метод введения новой переменной.
Пусть $t = x^2 + x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:
$t^4 - 1 = 0$.
Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(t^2 - 1)(t^2 + 1) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два возможных случая.
1) $t^2 - 1 = 0$.
Отсюда $t^2 = 1$, что дает два действительных решения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -1$.
2) $t^2 + 1 = 0$.
Отсюда $t^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных решений, поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным.
Теперь необходимо выполнить обратную замену для найденных значений $t=1$ и $t=-1$.

При $t = 1$:
$x^2 + x = 1$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + x - 1 = 0$.
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

При $t = -1$:
$x^2 + x = -1$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант для этого уравнения:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.
Ответ: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.