Страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

846. Найдите множество значений функции y = $\frac{x}{x^2+1}$.

Для нахождения множества значений функции $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ определим, какие значения может принимать переменная $y$. Для этого будем рассматривать данное равенство как уравнение относительно $x$ с параметром $y$ и найдем, при каких значениях $y$ это уравнение имеет действительные решения.

Сначала отметим, что область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как знаменатель $x^2 + 1$ всегда строго положителен ($x^2 + 1 \ge 1$ при любом $x$).

Преобразуем исходное уравнение: $$ y = \frac{x}{x^2 + 1} $$ Умножим обе части на $x^2 + 1$: $$ y(x^2 + 1) = x $$ $$ yx^2 + y = x $$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид уравнения: $$ yx^2 - x + y = 0 $$

Теперь проанализируем полученное уравнение в зависимости от параметра $y$.

Случай 1: $y = 0$. Если $y=0$, уравнение принимает вид: $$ 0 \cdot x^2 - x + 0 = 0 $$ $$ -x = 0 $$ $$ x = 0 $$ Уравнение имеет действительный корень $x=0$. Это означает, что значение $y=0$ достигается функцией, и, следовательно, $0$ входит в множество значений функции.

Случай 2: $y \neq 0$. При $y \neq 0$ уравнение $yx^2 - x + y = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Такое уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot y \cdot y = 1 - 4y^2 $$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$: $$ 1 - 4y^2 \ge 0 $$ $$ 1 \ge 4y^2 $$ $$ y^2 \le \frac{1}{4} $$

Это неравенство равносильно $|y| \le \sqrt{\frac{1}{4}}$, то есть: $$ |y| \le \frac{1}{2} $$ Что в виде двойного неравенства записывается как: $$ -\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2} $$

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы видим, что значение $y=0$ из первого случая входит в промежуток $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$, полученный во втором случае. Таким образом, множество всех возможных значений $y$, при которых исходное уравнение имеет действительные решения, является отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Это и есть искомое множество значений функции.

Ответ: $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

847. Сумма квадратов корней x₁ и x₂ уравнения x² – 3ax + a² = 0 равна 1,75. Найдите x₁ и x₂.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 3ax + a^2 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. По условию задачи, сумма квадратов этих корней равна 1,75. Запишем это условие в виде равенства: $x_1^2 + x_2^2 = 1,75$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае коэффициенты равны $p = -3a$ и $q = a^2$. Таким образом:
$x_1 + x_2 = -(-3a) = 3a$
$x_1 \cdot x_2 = a^2$

Теперь выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя известное алгебраическое тождество:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим в это тождество выражения, полученные по теореме Виета, и значение из условия задачи:
$(3a)^2 - 2(a^2) = 1,75$
$9a^2 - 2a^2 = 1,75$
$7a^2 = 1,75$

Решим полученное уравнение относительно параметра $a$. Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь 1,75 в обыкновенную: $1,75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4}$.
$7a^2 = \frac{7}{4}$
Разделим обе части на 7:
$a^2 = \frac{1}{4}$
Отсюда находим два возможных значения для $a$:
$a = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ или $a = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}$.

Теперь необходимо найти корни $x_1$ и $x_2$ для каждого из найденных значений $a$.

Случай 1: $a = \frac{1}{2}$
Подставляем это значение $a$ в исходное уравнение:
$x^2 - 3\left(\frac{1}{2}\right)x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0$
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} = 0$
Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на 4:
$4x^2 - 6x + 1 = 0$
Найдем корни по формуле для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{8} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{8}$
Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
$x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2(3 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$
Первая пара корней: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$.

Случай 2: $a = -\frac{1}{2}$
Подставляем второе значение $a$ в исходное уравнение:
$x^2 - 3\left(-\frac{1}{2}\right)x + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 0$
$x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} = 0$
Умножим все уравнение на 4:
$4x^2 + 6x + 1 = 0$
Найдем корни по формуле:
$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 16}}{8} = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2(-3 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{4}$
Вторая пара корней: $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{4}$ и $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{4}$.

Таким образом, существуют два возможных набора корней, удовлетворяющих условию задачи.
Ответ: $\frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ и $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$; или $\frac{-3 + \sqrt{5}}{4}$ и $\frac{-3 - \sqrt{5}}{4}$.

848. Найдите все значения a, при которых один из корней уравнения x² – 3,75x + a³ = 0 является квадратом другого.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 3,75x + a^3 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно условию задачи, один корень является квадратом другого. Без ограничения общности, положим $x_2 = x_1^2$.

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Для нашего уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-3,75) = 3,75$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a^3$

Подставим в эти равенства наше условие $x_2 = x_1^2$. В результате получим систему двух уравнений:
$ \begin{cases} x_1 + x_1^2 = 3,75 \\ x_1 \cdot x_1^2 = a^3 \end{cases} $
Упростим эту систему:
$ \begin{cases} x_1^2 + x_1 - 3,75 = 0 \\ x_1^3 = a^3 \end{cases} $

Сначала решим первое уравнение системы относительно $x_1$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $3,75 = 3 \frac{3}{4} = \frac{15}{4}$.
$x_1^2 + x_1 - \frac{15}{4} = 0$
Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
$4x_1^2 + 4x_1 - 15 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$. Найдем его корни, используя формулу для дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 16 + 240 = 256$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
Теперь найдем возможные значения для $x_1$:
$x_{1,1} = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$.
$x_{1,2} = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2,5$.

Теперь вернемся ко второму уравнению системы: $x_1^3 = a^3$.
Извлекая кубический корень из обеих частей этого равенства, мы получаем, что $a = x_1$.

Следовательно, каждому найденному значению $x_1$ соответствует значение параметра $a$:
1. Если $x_1 = 1,5$, то $a = 1,5$.
2. Если $x_1 = -2,5$, то $a = -2,5$.

Таким образом, мы нашли все значения параметра $a$, при которых выполняется условие задачи.

Ответ: $a = -2,5; 1,5$.

849. При каком значении m корни уравнения x² – 2mx + m² – 1 = 0 принадлежат интервалу (–2; 4)?

Рассмотрим данное уравнение $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$.

Заметим, что левую часть уравнения можно преобразовать, выделив полный квадрат. Первые три слагаемых представляют собой квадрат разности:

$(x^2 - 2mx + m^2) - 1 = 0$

$(x - m)^2 - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$(x - m)^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

$x - m = 1$ или $x - m = -1$

Отсюда находим два корня уравнения:

$x_1 = m + 1$

$x_2 = m - 1$

Согласно условию задачи, оба корня должны принадлежать интервалу $(-2; 4)$. Это означает, что для обоих корней должны одновременно выполняться следующие двойные неравенства:

$\begin{cases} -2 < m - 1 < 4 \\ -2 < m + 1 < 4 \end{cases}$

Решим эту систему неравенств.

Решаем первое неравенство:

$-2 < m - 1 < 4$

Прибавим 1 ко всем трем частям неравенства, чтобы выделить $m$:

$-2 + 1 < m < 4 + 1$

$-1 < m < 5$

Таким образом, $m$ должно находиться в интервале $(-1; 5)$.

Решаем второе неравенство:

$-2 < m + 1 < 4$

Вычтем 1 из всех трех частей неравенства:

$-2 - 1 < m < 4 - 1$

$-3 < m < 3$

Таким образом, $m$ должно находиться в интервале $(-3; 3)$.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, необходимо найти пересечение полученных интервалов для $m$: $m \in (-1; 5)$ и $m \in (-3; 3)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-1; 3)$.

Следовательно, при $m$, принадлежащем интервалу $(-1; 3)$, оба корня уравнения будут находиться в заданном интервале $(-2; 4)$.

Ответ: $m \in (-1; 3)$.

850. При каких значениях a биквадратное уравнение имеет только два различных корня?

x⁴ + ax² + a – 1 = 0

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 + at + a - 1 = 0$

Теперь проанализируем, как количество корней исходного биквадратного уравнения зависит от корней этого квадратного уравнения.

• Если квадратное уравнение имеет корень $t > 0$, то из $x^2 = t$ мы получаем два различных действительных корня для $x$: $x_1 = \sqrt{t}$ и $x_2 = -\sqrt{t}$.
• Если квадратное уравнение имеет корень $t = 0$, то из $x^2 = 0$ мы получаем один корень для $x$: $x = 0$.
• Если квадратное уравнение имеет корень $t < 0$, то из $x^2 = t$ мы не получаем действительных корней для $x$.

По условию задачи, исходное биквадратное уравнение должно иметь ровно два различных корня. Это возможно в следующих двух случаях:

1) Квадратное уравнение $t^2 + at + a - 1 = 0$ имеет один положительный и один отрицательный корень ($t_1 > 0$ и $t_2 < 0$). В этом случае корень $t_1$ даст два различных корня для $x$, а корень $t_2$ не даст действительных корней.

2) Квадратное уравнение $t^2 + at + a - 1 = 0$ имеет один двукратный (совпадающий) положительный корень ($t_1 = t_2 > 0$). В этом случае этот корень даст два различных корня для $x$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень.

Согласно теореме Виета, для того чтобы корни квадратного уравнения $t^2 + pt + q = 0$ имели разные знаки, необходимо и достаточно, чтобы их произведение было отрицательным, то есть $q < 0$.В нашем уравнении $t^2 + at + a - 1 = 0$ свободный член равен $a - 1$.Следовательно, условие имеет вид:

$a - 1 < 0$

$a < 1$

При этом условии дискриминант $D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a-1) = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$ всегда будет строго больше нуля, так как если $a < 1$, то $a \neq 2$, а значит $D > 0$. Это гарантирует наличие двух различных корней $t_1$ и $t_2$.Таким образом, при $a < 1$ биквадратное уравнение имеет ровно два различных корня.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет один двукратный положительный корень.

Для наличия одного двукратного корня необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю.

$D = (a-2)^2 = 0$

Отсюда $a = 2$.

Теперь нужно проверить, будет ли этот двукратный корень положительным при $a=2$.Найдем этот корень по формуле $t = -a/2$:

$t = -2/2 = -1$

Так как корень $t = -1$ является отрицательным, уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней. Следовательно, при $a=2$ исходное уравнение не имеет корней вовсе. Этот случай не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя результаты анализа обоих случаев, приходим к выводу, что биквадратное уравнение $x^4 + ax^2 + a - 1 = 0$ имеет только два различных корня при выполнении условия из первого случая.

Ответ: $a < 1$

851. Решите систему уравнений

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x + y)(8 - x) = 10, \\ (x + y)(y + 5) = 20. \end{cases} $

Заметим, что выражение $(x + y)$ является общим множителем в обоих уравнениях. Если предположить, что $(x + y) = 0$, то левые части обоих уравнений обращаются в ноль, в то время как правые части равны 10 и 20. Это приводит к неверным равенствам $0 = 10$ и $0 = 20$. Следовательно, выражение $(x + y)$ не может быть равно нулю, и мы можем разделить одно уравнение на другое.

Разделим второе уравнение системы на первое:

$\frac{(x + y)(y + 5)}{(x + y)(8 - x)} = \frac{20}{10}$

Сократив общий множитель $(x + y)$, получим:

$\frac{y + 5}{8 - x} = 2$

Отсюда можно выразить $y$ через $x$:

$y + 5 = 2(8 - x)$

$y + 5 = 16 - 2x$

$y = 11 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение исходной системы $(x + y)(8 - x) = 10$:

$(x + (11 - 2x))(8 - x) = 10$

$(11 - x)(8 - x) = 10$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$88 - 11x - 8x + x^2 = 10$

$x^2 - 19x + 88 - 10 = 0$

$x^2 - 19x + 78 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 78 = 361 - 312 = 49$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{19 - 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{19 + 7}{2} = \frac{26}{2} = 13$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$, используя ранее выведенную зависимость $y = 11 - 2x$.

1. При $x_1 = 6$:

$y_1 = 11 - 2 \cdot 6 = 11 - 12 = -1$

Таким образом, первая пара решений: $(6, -1)$.

2. При $x_2 = 13$:

$y_2 = 11 - 2 \cdot 13 = 11 - 26 = -15$

Таким образом, вторая пара решений: $(13, -15)$.

Проверка подтверждает, что обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(6, -1), (13, -15)$.

852. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2 + y^2)(x - y) = 447, \\ xy(x - y) = 210; \end{cases} $$

Заметим, что если $x - y = 0$, то второе уравнение примет вид $0 = 210$, что неверно. Следовательно, $x - y \neq 0$. Мы можем разделить одно уравнение на другое, но удобнее будет использовать метод замены переменных.

Введем замену: пусть $u = x - y$ и $v = xy$.

Выразим $x^2 + y^2$ через новые переменные. Из тождества $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ следует, что $u^2 = x^2 + y^2 - 2v$. Отсюда получаем $x^2 + y^2 = u^2 + 2v$.

Подставим эти выражения в исходную систему:

$$ \begin{cases} (u^2 + 2v)u = 447, \\ vu = 210; \end{cases} $$

Раскроем скобки в первом уравнении и получим систему:

$$ \begin{cases} u^3 + 2vu = 447, \\ vu = 210; \end{cases} $$

Теперь подставим значение $vu$ из второго уравнения в первое:

$u^3 + 2(210) = 447$

$u^3 + 420 = 447$

$u^3 = 447 - 420$

$u^3 = 27$

$u = 3$

Зная $u$, найдем $v$ из уравнения $vu = 210$:

$v \cdot 3 = 210$

$v = \frac{210}{3} = 70$

Теперь вернемся к исходным переменным. Мы получили систему:

$$ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 70; \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x = y + 3$ и подставим во второе:

$(y + 3)y = 70$

$y^2 + 3y - 70 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение $-70$. Подбором находим корни: $y_1 = 7$ и $y_2 = -10$.

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$:

1. Если $y_1 = 7$, то $x_1 = 7 + 3 = 10$.

2. Если $y_2 = -10$, то $x_2 = -10 + 3 = -7$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(10, 7), (-7, -10)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} xy(x + y) = 30, \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases} $$

Эта система является симметрической, так как уравнения не меняются при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Для решения таких систем удобно использовать замену на элементарные симметрические многочлены.

Пусть $a = x + y$ и $b = xy$.

Перепишем уравнения системы через $a$ и $b$. Первое уравнение принимает вид $ba = 30$.

Для второго уравнения используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Выразим $x^2+y^2$ через $a$ и $b$: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = a^2 - 2b$.

Тогда $x^3 + y^3 = a((a^2 - 2b) - b) = a(a^2 - 3b) = a^3 - 3ab$.

В новых переменных система выглядит следующим образом:

$$ \begin{cases} ab = 30, \\ a^3 - 3ab = 35; \end{cases} $$

Подставим значение $ab$ из первого уравнения во второе:

$a^3 - 3(30) = 35$

$a^3 - 90 = 35$

$a^3 = 125$

$a = 5$

Теперь найдем $b$ из уравнения $ab = 30$:

$5b = 30$

$b = \frac{30}{5} = 6$

Мы нашли значения $a$ и $b$. Вернемся к исходным переменным:

$$ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6; \end{cases} $$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим найденные значения суммы и произведения:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим это уравнение. Корни легко находятся подбором (сумма 5, произведение 6) или разложением на множители: $(t - 2)(t - 3) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Это означает, что решениями исходной системы являются пары чисел $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

853. Решите систему уравнений

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 19(x - y) \\ x^3 + y^3 = 7(x + y) \end{cases} $$

Преобразуем каждое уравнение системы, используя формулы разности и суммы кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Для первого уравнения получаем:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 19(x - y)$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2 - 19) = 0$

Это уравнение выполняется, если:

1) $x - y = 0 \implies x = y$

или

2) $x^2 + xy + y^2 - 19 = 0 \implies x^2 + xy + y^2 = 19$

Для второго уравнения получаем:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 7(x + y)$

$(x + y)(x^2 - xy + y^2 - 7) = 0$

Это уравнение выполняется, если:

A) $x + y = 0 \implies x = -y$

или

B) $x^2 - xy + y^2 - 7 = 0 \implies x^2 - xy + y^2 = 7$

Решение исходной системы сводится к решению четырех систем, полученных из комбинаций этих случаев.

Случай 1: $x - y = 0$ и $x + y = 0$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x = y \\ x = -y \end{cases} $$

Подставляя $x=y$ во второе уравнение, получаем $y = -y$, откуда $2y=0$ и $y=0$. Следовательно, $x=0$.

Первое решение: $(0, 0)$.

Случай 2: $x - y = 0$ и $x^2 - xy + y^2 = 7$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x = y \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases} $$

Подставляем $x = y$ во второе уравнение:

$y^2 - y \cdot y + y^2 = 7 \implies y^2 = 7 \implies y = \pm\sqrt{7}$.

Если $y = \sqrt{7}$, то $x = \sqrt{7}$. Если $y = -\sqrt{7}$, то $x = -\sqrt{7}$.

Получаем еще два решения: $(\sqrt{7}, \sqrt{7})$ и $(-\sqrt{7}, -\sqrt{7})$.

Случай 3: $x^2 + xy + y^2 = 19$ и $x + y = 0$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19 \\ x = -y \end{cases} $$

Подставляем $x = -y$ в первое уравнение:

$(-y)^2 + (-y)y + y^2 = 19 \implies y^2 - y^2 + y^2 = 19 \implies y^2 = 19 \implies y = \pm\sqrt{19}$.

Если $y = \sqrt{19}$, то $x = -\sqrt{19}$. Если $y = -\sqrt{19}$, то $x = \sqrt{19}$.

Получаем еще два решения: $(-\sqrt{19}, \sqrt{19})$ и $(\sqrt{19}, -\sqrt{19})$.

Случай 4: $x^2 + xy + y^2 = 19$ и $x^2 - xy + y^2 = 7$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19 \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases} $$

Сложим уравнения: $(x^2 + xy + y^2) + (x^2 - xy + y^2) = 19 + 7 \implies 2x^2 + 2y^2 = 26 \implies x^2 + y^2 = 13$.

Вычтем второе уравнение из первого: $(x^2 + xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 19 - 7 \implies 2xy = 12 \implies xy = 6$.

Получили новую систему:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 6 \end{cases} $$

Из второго уравнения $y = 6/x$. Подставляем в первое:

$x^2 + (6/x)^2 = 13 \implies x^2 + 36/x^2 = 13$.

Домножаем на $x^2$ (где $x \neq 0$): $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$), тогда $t^2 - 13t + 36 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 4$, $t_2 = 9$.

Возвращаемся к $x$:

Если $x^2 = 4$, то $x = \pm 2$.

При $x=2$, $y=6/2=3$. При $x=-2$, $y=6/(-2)=-3$.

Если $x^2 = 9$, то $x = \pm 3$.

При $x=3$, $y=6/3=2$. При $x=-3$, $y=6/(-3)=-2$.

Получаем еще четыре решения: $(2, 3)$, $(-2, -3)$, $(3, 2)$, $(-3, -2)$.

Объединив все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(0, 0)$, $(\sqrt{7}, \sqrt{7})$, $(-\sqrt{7}, -\sqrt{7})$, $(\sqrt{19}, -\sqrt{19})$, $(-\sqrt{19}, \sqrt{19})$, $(2, 3)$, $(-2, -3)$, $(3, 2)$, $(-3, -2)$.

854. Найдите все решения системы

Данная система уравнений является симметрической, так как она не меняется при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Такие системы удобно решать введением новых переменных на основе элементарных симметрических многочленов.

Пусть $S = x+y$ и $P = xy$.

Перепишем второе уравнение системы, $x + xy + y = 0$, через новые переменные:

$(x+y) + xy = 0$

$S + P = 0$, откуда $P = -S$.

Теперь преобразуем первое уравнение системы: $x^3 + x^3y^3 + y^3 = 12$.

Сгруппируем слагаемые: $(x^3+y^3) + (xy)^3 = 12$.

Выразим каждую часть через $S$ и $P$:

$(xy)^3 = P^3$.

Сумму кубов $x^3+y^3$ выразим через $S$ и $P$ с помощью известного тождества:

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2-2xy-xy) = S(S^2-3P)$.

Подставим полученные выражения в первое уравнение:

$S(S^2-3P) + P^3 = 12$.

Теперь мы имеем систему уравнений для $S$ и $P$:

Подставим $P = -S$ из второго уравнения в первое:

$S(S^2-3(-S)) + (-S)^3 = 12$

$S(S^2+3S) - S^3 = 12$

$S^3 + 3S^2 - S^3 = 12$

$3S^2 = 12$

$S^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $S$: $S=2$ или $S=-2$. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $S=2$

Если $S=2$, то $P = -S = -2$.

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$. Мы имеем систему:

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$:

$t^2 - 2t - 2 = 0$.

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Таким образом, мы получаем две пары решений для $(x, y)$:

$(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3})$ и $(1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$.

Случай 2: $S=-2$

Если $S=-2$, то $P = -S = 2$.

Система для $x$ и $y$ принимает вид:

Соответствующее квадратное уравнение $t^2 - St + P = 0$:

$t^2 - (-2)t + 2 = 0$

$t^2 + 2t + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае у системы нет действительных решений.

Объединяя результаты, получаем, что исходная система имеет две пары решений.

Ответ: $(1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3})$, $(1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3})$.

855. Решите уравнение (x + 3)⁴ + (x + 5)⁴ = 4.

Дано уравнение $(x + 3)^4 + (x + 5)^4 = 4$.

Это уравнение является симметричным относительно некоторого центра. Для его решения удобно ввести замену переменной, которая будет представлять собой центр симметрии для выражений в скобках. Найдем среднее арифметическое выражений $x+3$ и $x+5$:
$y = \frac{(x+3) + (x+5)}{2} = \frac{2x+8}{2} = x+4$.

Выразим $x+3$ и $x+5$ через новую переменную $y$:
$x+3 = (x+4) - 1 = y - 1$
$x+5 = (x+4) + 1 = y + 1$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(y - 1)^4 + (y + 1)^4 = 4$.

Теперь раскроем скобки, используя формулу бинома Ньютона $(a \pm b)^4 = a^4 \pm 4a^3b + 6a^2b^2 \pm 4ab^3 + b^4$.
$(y-1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$
$(y+1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1$

Сложим полученные выражения:
$(y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) + (y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) = 4$
Члены с нечетными степенями $y$ взаимно уничтожаются:
$2y^4 + 12y^2 + 2 = 4$

Перенесем 4 в левую часть и упростим уравнение:
$2y^4 + 12y^2 - 2 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2:
$y^4 + 6y^2 - 1 = 0$

Получили биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: пусть $z = y^2$. Поскольку мы ищем действительные корни $x$, то $y$ также должно быть действительным числом, а значит $z$ должно быть неотрицательным ($z \ge 0$).
Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $z$:
$z^2 + 6z - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы для корней: $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Здесь $a=1, b=6, c=-1$.
$z = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10}$.

Мы получили два возможных значения для $z$:
$z_1 = -3 + \sqrt{10}$
$z_2 = -3 - \sqrt{10}$

Теперь проверим условие $z \ge 0$.
Значение $z_2 = -3 - \sqrt{10}$ является отрицательным, так как это сумма двух отрицательных чисел, следовательно, это посторонний корень.
Для значения $z_1 = -3 + \sqrt{10}$, заметим, что $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$, поэтому $-3 + \sqrt{10} > 0$. Этот корень удовлетворяет условию.

Итак, мы имеем $y^2 = z_1 = \sqrt{10} - 3$.
Отсюда находим два действительных значения для $y$:
$y = \pm\sqrt{\sqrt{10} - 3}$.

Наконец, вернемся к исходной переменной $x$. Мы использовали замену $y = x+4$, откуда следует, что $x = y-4$.
Подставим найденные значения $y$, чтобы найти корни уравнения для $x$:
$x_1 = \sqrt{\sqrt{10} - 3} - 4$
$x_2 = -\sqrt{\sqrt{10} - 3} - 4$

Оба корня можно записать в одной форме.

Ответ: $x = -4 \pm \sqrt{\sqrt{10} - 3}$.

856. Решите уравнение (x² + x)⁴ – 1 = 0.

Данное уравнение $(x^2 + x)^4 - 1 = 0$ является биквадратным относительно выражения $x^2+x$. Для его решения удобно использовать метод введения новой переменной.
Пусть $t = x^2 + x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:
$t^4 - 1 = 0$.
Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(t^2 - 1)(t^2 + 1) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два возможных случая.
1) $t^2 - 1 = 0$.
Отсюда $t^2 = 1$, что дает два действительных решения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -1$.
2) $t^2 + 1 = 0$.
Отсюда $t^2 = -1$. Это уравнение не имеет действительных решений, поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным.
Теперь необходимо выполнить обратную замену для найденных значений $t=1$ и $t=-1$.

При $t = 1$:
$x^2 + x = 1$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + x - 1 = 0$.
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

При $t = -1$:
$x^2 + x = -1$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант для этого уравнения:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.
Поскольку $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.
Ответ: $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

857. Решите систему уравнений

Дана система уравнений:

Для решения введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда первое уравнение системы примет вид $a + b = 3$.

Из замены следует, что $x = a^3$ и $y = b^3$. Подставим эти выражения во второе уравнение системы:

Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем:

Теперь мы имеем новую, более простую систему уравнений относительно переменных $a$ и $b$:

Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

Решим это квадратное уравнение. Найдем корни через дискриминант:

Корни уравнения:

Это означает, что решениями для пары $(a, b)$ являются $(1, 2)$ и $(2, 1)$, так как система для $a$ и $b$ симметрична.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, рассмотрев оба случая.

Если $a=1$ и $b=2$, то:

Получаем первую пару решений $(x, y) = (1, 8)$.

Если $a=2$ и $b=1$, то:

Получаем вторую пару решений $(x, y) = (8, 1)$.

Ответ: $(1, 8)$, $(8, 1)$.

858. Решите систему уравнений

Определим область допустимых значений для переменных $x$ и $y$. Так как переменные находятся в знаменателе дроби, $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Из первого уравнения $ \sqrt[3]{\frac{x}{y}} + \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = 4,25 $ следует, что выражение $ \frac{x}{y} $ должно быть положительным, так как в противном случае, если $ \frac{x}{y} < 0 $, то и $ \sqrt[3]{\frac{x}{y}} $, и $ \sqrt[3]{\frac{y}{x}} $ будут отрицательными, и их сумма не может быть положительным числом 4,25. Положительность дроби $ \frac{x}{y} $ означает, что $x$ и $y$ имеют одинаковый знак. Из второго уравнения $x + y = 130$ следует, что их сумма положительна, поэтому и $x$, и $y$ должны быть положительными числами: $x > 0, y > 0$.

Для решения первого уравнения системы введем замену. Пусть $t = \sqrt[3]{\frac{x}{y}}$. Тогда $ \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = \frac{1}{t}$.

Подставив замену в первое уравнение, получим:

$t + \frac{1}{t} = 4,25$

Представим десятичное число 4,25 в виде обыкновенной дроби: $4,25 = 4\frac{25}{100} = 4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$

Умножим обе части на $4t$ (что допустимо, так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:

$4t^2 + 4 = 17t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$4t^2 - 17t + 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 15}{2 \cdot 4} = \frac{17 \pm 15}{8}$

$t_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$t_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Теперь вернемся к исходным переменным, рассмотрев два случая.

Случай 1: $t = 4$.

$\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 4$

Возводим обе части в куб:

$\frac{x}{y} = 4^3 \implies \frac{x}{y} = 64 \implies x = 64y$

Подставим полученное соотношение во второе уравнение системы $x + y = 130$:

$64y + y = 130$

$65y = 130$

$y = 2$

Теперь находим $x$:

$x = 64 \cdot 2 = 128$

Таким образом, первая пара решений: $(128; 2)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{4}$.

$\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = \frac{1}{4}$

Возводим обе части в куб:

$\frac{x}{y} = \left(\frac{1}{4}\right)^3 \implies \frac{x}{y} = \frac{1}{64} \implies y = 64x$

Подставим это соотношение во второе уравнение системы $x + y = 130$:

$x + 64x = 130$

$65x = 130$

$x = 2$

Теперь находим $y$:

$y = 64 \cdot 2 = 128$

Таким образом, вторая пара решений: $(2; 128)$.

Оба решения удовлетворяют условиям $x>0$ и $y>0$.

Ответ: $(128; 2), (2; 128)$.