Страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

831. Задайте формулой функцию, график которой симметричен графику функции y = 2x – 4:

а) относительно оси y;

б) относительно оси x;

в) относительно начала координат.

Исходная функция задана формулой $y = 2x - 4$.

а) относительно оси y

Симметрия графика функции относительно оси $y$ означает, что для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике, точка $(-x, y)$ будет лежать на симметричном графике. Чтобы найти формулу новой функции, нужно в исходной формуле $y = 2x - 4$ заменить $x$ на $-x$.

Выполним подстановку:

$y = 2(-x) - 4$

Упростим выражение:

$y = -2x - 4$

Это и есть формула функции, график которой симметричен графику функции $y = 2x - 4$ относительно оси $y$.

Ответ: $y = -2x - 4$

б) относительно оси x

Симметрия графика функции относительно оси $x$ означает, что для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике, точка $(x, -y)$ будет лежать на симметричном графике. Чтобы найти формулу новой функции, нужно в исходной формуле $y = 2x - 4$ заменить $y$ на $-y$.

Выполним подстановку:

$-y = 2x - 4$

Теперь выразим $y$, умножив обе части уравнения на $-1$:

$y = -(2x - 4)$

$y = -2x + 4$

Это формула функции, график которой симметричен графику функции $y = 2x - 4$ относительно оси $x$.

Ответ: $y = -2x + 4$

в) относительно начала координат

Симметрия графика функции относительно начала координат $(0, 0)$ означает, что для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике, точка $(-x, -y)$ будет лежать на симметричном графике. Чтобы найти формулу новой функции, нужно в исходной формуле $y = 2x - 4$ одновременно заменить $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$.

Выполним подстановку:

$-y = 2(-x) - 4$

Упростим правую часть:

$-y = -2x - 4$

Теперь выразим $y$, умножив обе части уравнения на $-1$:

$y = -(-2x - 4)$

$y = 2x + 4$

Это формула функции, график которой симметричен графику функции $y = 2x - 4$ относительно начала координат.

Ответ: $y = 2x + 4$

832. Постройте график функции:

а) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

1. Находим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 2$. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=2$.

2. Упрощаем выражение для функции. Числитель $x^2 - 4$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Подставим разложенный числитель в исходное уравнение:

$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$

3. При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 2)$. В результате получаем линейную функцию:

$y = x + 2$

4. Графиком функции является прямая $y = x + 2$. Однако, поскольку исходная функция не определена в точке $x = 2$, на графике будет "выколотая" точка. Чтобы найти ее координаты, подставим $x = 2$ в упрощенное уравнение прямой: $y = 2 + 2 = 4$.

Следовательно, точка с координатами $(2, 4)$ не принадлежит графику.

5. Для построения графика прямой $y = x + 2$ достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 2$ (точка $(0, 2)$), а если $x = -2$, то $y = 0$ (точка $(-2, 0)$). Проводим прямую через эти две точки и отмечаем на ней точку $(2, 4)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.

б) $y = \frac{x^2 - 2x}{x}$

1. Находим область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$.

2. Упрощаем выражение. В числителе $x^2 - 2x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - 2x = x(x - 2)$.

Функция принимает вид:

$y = \frac{x(x - 2)}{x}$

3. При $x \neq 0$ сокращаем дробь на $x$ и получаем линейную функцию:

$y = x - 2$

4. Графиком данной функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой при $x = 0$. Найдем координаты этой точки, подставив $x = 0$ в упрощенное уравнение: $y = 0 - 2 = -2$.

Следовательно, точка с координатами $(0, -2)$ не принадлежит графику.

5. Для построения прямой $y = x - 2$ возьмем две точки. Например, если $x = 2$, то $y = 0$ (точка $(2, 0)$), а если $x = 1$, то $y = -1$ (точка $(1, -1)$). Проводим прямую через эти точки и отмечаем на ней выколотую точку $(0, -2)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(0, -2)$.

в) $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{2 - x}$

1. Находим область определения функции. Знаменатель $2 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$. Функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=2$.

2. Упрощаем выражение. Разложим числитель, квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 2$, на множители. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 1)(x - 2)}{2 - x}$

3. Заметим, что множитель в числителе $(x - 2)$ и знаменатель $(2 - x)$ отличаются только знаком: $(x - 2) = -(2 - x)$. Перепишем функцию:

$y = \frac{(x - 1)(-(2 - x))}{2 - x}$

При $x \neq 2$ сокращаем дробь на $(2 - x)$ и получаем:

$y = -(x - 1) = -x + 1$

4. Графиком функции является прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой при $x = 2$. Найдем ее координаты: $y = -2 + 1 = -1$.

Следовательно, точка с координатами $(2, -1)$ не принадлежит графику.

5. Для построения прямой $y = -x + 1$ найдем две точки. Например, если $x = 0$, то $y = 1$ (точка $(0, 1)$), а если $x = 1$, то $y = 0$ (точка $(1, 0)$). Проводим прямую через эти точки и отмечаем на ней выколотую точку $(2, -1)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой $(2, -1)$.

833. Постройте график функции:

а) Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} 0,5x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.
1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = 0,5x$. Это линейная функция, её график — прямая линия. Так как $x \ge 0$, мы строим луч, начинающийся на оси $y$.
- Найдём координаты двух точек для этого луча.
- Если $x = 0$, то $y = 0,5 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$ — начало луча.
- Если $x = 4$, то $y = 0,5 \cdot 4 = 2$. Точка $(4, 2)$ принадлежит лучу.
Таким образом, для $x \ge 0$ график — это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и проходящий через точку $(4, 2)$.
2. При $x < 0$ функция имеет вид $y = -x$. Это также линейная функция, её график — луч, определённый для отрицательных значений $x$.
- Найдём координаты точек для этого луча.
- Граничная точка: при $x=0$ (не включая), $y=0$. Луч подходит к точке $(0, 0)$.
- Если $x = -2$, то $y = -(-2) = 2$. Точка $(-2, 2)$ принадлежит лучу.
Таким образом, для $x < 0$ график — это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ (не включая её) и проходящий через точку $(-2, 2)$.
3. Объединяем оба луча. Поскольку оба луча сходятся в точке $(0, 0)$, и эта точка включена в первую часть функции, график является непрерывным.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$. Один луч проходит через точку $(4, 2)$ в первой координатной четверти, а второй — через точку $(-2, 2)$ во второй координатной четверти.

б) Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} 2 + x, & \text{если } x \le -1 \\ 1, & \text{если } -1 < x \le 1 \\ 2 - x, & \text{если } x > 1 \end{cases}$
Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.
1. При $x \le -1$ функция имеет вид $y = 2 + x$. Это линейная функция, её график — луч.
- Крайняя точка луча: при $x = -1$, $y = 2 + (-1) = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику.
- Для другой точки возьмём $x = -3$, тогда $y = 2 + (-3) = -1$. Точка $(-3, -1)$ принадлежит графику.
Строим луч, проходящий через точки $(-1, 1)$ и $(-3, -1)$ для всех $x \le -1$.
2. При $-1 < x \le 1$ функция имеет вид $y = 1$. Это константа, её график — горизонтальный отрезок.
- Отрезок соединяет точки с ординатой $y=1$ от $x=-1$ до $x=1$.
- Точка $(-1, 1)$ не включается (выколотая), а точка $(1, 1)$ включается (закрашенная).
3. При $x > 1$ функция имеет вид $y = 2 - x$. Это линейная функция, её график — луч.
- Начальная точка луча (выколотая): при $x = 1$, $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$.
- Для другой точки возьмём $x = 3$, тогда $y = 2 - 3 = -1$. Точка $(3, -1)$ принадлежит графику.
Строим луч, начинающийся в точке $(1, 1)$ и проходящий через $(3, -1)$ для всех $x > 1$.
4. Объединяем графики. В точке $x=-1$ первый график заканчивается в $(-1, 1)$, а второй начинается из $(-1, 1)$. В точке $x=1$ второй график заканчивается в $(1, 1)$, а третий начинается из $(1, 1)$. Функция непрерывна на всей числовой оси.

Ответ: График функции — это непрерывная линия, состоящая из горизонтального отрезка прямой $y=1$ на промежутке $[-1, 1]$ и двух лучей, исходящих из его концов. Луч слева проходит через точку $(-3, -1)$, а луч справа — через точку $(3, -1)$. График симметричен относительно оси $y$.

в) Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 + 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.
1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = 2x^2$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
- Так как $x \ge 0$, мы строим правую ветвь этой параболы.
- Точки для построения: $(0, 0)$ — вершина (включена), $(1, 2 \cdot 1^2) = (1, 2)$, $(2, 2 \cdot 2^2) = (2, 8)$.
2. При $x < 0$ функция имеет вид $y = -x^2 + 1$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 1)$.
- Так как $x < 0$, мы строим левую ветвь этой параболы.
- Граничная точка: при $x=0$, $y=1$. Точка $(0, 1)$ — выколотая.
- Точки для построения: $(-1, -(-1)^2 + 1) = (-1, 0)$, $(-2, -(-2)^2 + 1) = (-2, -3)$.
3. Объединяем графики. В точке $x=0$ происходит разрыв. График состоит из двух несвязанных частей. На оси $y$ есть закрашенная точка $(0, 0)$ и выколотая точка $(0, 1)$.

Ответ: График состоит из двух частей парабол. Для $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы $y=2x^2$, начинающаяся в точке $(0, 0)$. Для $x < 0$ — это левая ветвь параболы $y=-x^2+1$, которая проходит через точку $(-1, 0)$ и приближается к точке $(0, 1)$ на оси ординат. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

г) Функция задана кусочно: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 1 \\ -x^2 + 2x + 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$
Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.
1. При $x < 1$ функция имеет вид $y = x^2$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 0)$.
- Мы строим часть этой параболы для $x < 1$.
- Граничная точка: при $x=1$, $y=1^2=1$. Точка $(1, 1)$ — выколотая.
- Точки для построения: $(0, 0)$ — вершина, $(-1, 1)$, $(-2, 4)$.
2. При $x \ge 1$ функция имеет вид $y = -x^2 + 2x + 1$. Это квадратичная функция, её график — часть параболы с ветвями вниз.
- Найдём вершину этой параболы: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(-1)} = 1$.
- $y_v = -(1)^2 + 2(1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.
- Вершина находится в точке $(1, 2)$. Поскольку $x \ge 1$, вершина является начальной точкой этой части графика, и она включена.
- Точки для построения: $(1, 2)$ — вершина, $(2, -(2)^2 + 2(2) + 1) = (2, 1)$, $(3, -(3)^2 + 2(3) + 1) = (3, -2)$.
3. Объединяем графики. В точке $x=1$ происходит разрыв. График "перескакивает" с выколотой точки $(1, 1)$ на закрашенную точку $(1, 2)$.

Ответ: График состоит из двух частей парабол. Для $x < 1$ — это часть параболы $y=x^2$ с вершиной в $(0, 0)$, которая доходит до выколотой точки $(1, 1)$. Для $x \ge 1$ — это правая половина параболы $y=-x^2+2x+1$, начинающаяся в своей вершине, точке $(1, 2)$. В точке $x=1$ функция имеет разрыв.

834. Пересекаются ли парабола y = x² – 6x и прямая y – 8x = 0? Если да, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте ответ с помощью схематического рисунка.

Чтобы определить, пересекаются ли парабола $y = x^2 - 6x$ и прямая $y - 8x = 0$, и найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^2 - 6x \\ y - 8x = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим y:

$y = 8x$

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение системы:

$8x = x^2 - 6x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 6x - 8x = 0$

$x^2 - 14x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель x за скобки:

$x(x - 14) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$ или $x - 14 = 0 \implies x_2 = 14$

Так как мы получили два действительных решения для x, это означает, что графики параболы и прямой пересекаются в двух точках.

Теперь найдем соответствующие y-координаты для каждой точки пересечения, подставив найденные значения x в уравнение прямой $y = 8x$:

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 8 \cdot 0 = 0$

Следовательно, первая точка пересечения имеет координаты (0, 0).

Для $x_2 = 14$:

$y_2 = 8 \cdot 14 = 112$

Следовательно, вторая точка пересечения имеет координаты (14, 112).

Проиллюстрируйте ответ с помощью схематического рисунка.

Для построения графика параболы $y = x^2 - 6x$ найдем ее вершину и точки пересечения с осями координат.
Координата $x$ вершины параболы: $x_v = -b/(2a) = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$.
Координата $y$ вершины: $y_v = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$. Вершина находится в точке $(3, -9)$.
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках, где $y=0$: $x(x-6)=0$, то есть в точках $(0, 0)$ и $(6, 0)$.
Прямая $y = 8x$ проходит через начало координат $(0, 0)$ и точку $(14, 112)$.

Ответ:

Да, парабола и прямая пересекаются. Координаты точек пересечения: $(0, 0)$ и $(14, 112)$.

835. Найдите область определения и множество значений функции:

а) $f(x) = x^2 - 10x - 17$

Область определения:
Функция $f(x)$ является квадратичным многочленом. Многочлены определены для всех действительных значений аргумента $x$, так как их вычисление не предполагает операций, имеющих ограничения (таких как деление на ноль или извлечение корня четной степени из отрицательного числа).
Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений:
График функции — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Это значит, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.
Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.
Ордината вершины, являющаяся наименьшим значением функции, находится подстановкой $x_v$ в функцию:
$y_v = f(5) = 5^2 - 10 \cdot 5 - 17 = 25 - 50 - 17 = -42$.
Также можно найти наименьшее значение, выделив полный квадрат:
$f(x) = x^2 - 10x - 17 = (x^2 - 10x + 25) - 25 - 17 = (x-5)^2 - 42$.
Поскольку выражение $(x-5)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-5)^2 \ge 0$, минимальное значение функции равно $-42$.
Таким образом, множество значений функции — это все числа от $-42$ включительно до $+\infty$.

Ответ: Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = [-42; +\infty)$.

б) $g(x) = \frac{1}{|x| - x}$

Область определения:
Функция определена, когда ее знаменатель не равен нулю.
$|x| - x \neq 0 \implies |x| \neq x$.
Равенство $|x| = x$ выполняется для всех неотрицательных чисел, то есть при $x \ge 0$.
Следовательно, условие $|x| \neq x$ выполняется только для строго отрицательных чисел: $x < 0$.
Таким образом, область определения функции — это интервал $(-\infty; 0)$.

Множество значений:
Рассмотрим функцию на ее области определения, то есть при $x < 0$.
По определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это выражение в функцию:
$g(x) = \frac{1}{-x - x} = \frac{1}{-2x}$.
Проанализируем выражение $y = \frac{1}{-2x}$ при $x < 0$.
Поскольку $x$ принимает отрицательные значения, знаменатель $-2x$ всегда будет положительным. Следовательно, значение функции $g(x)$ также всегда будет положительным.
Рассмотрим поведение функции на границах области определения:

• Когда $x$ стремится к $0$ слева ($x \to 0^-$), знаменатель $-2x$ стремится к $0$ справа ($0^+$), а значение функции $g(x)$ стремится к $+\infty$.
• Когда $x$ стремится к $-\infty$, знаменатель $-2x$ стремится к $+\infty$, а значение функции $g(x)$ стремится к $0$ (оставаясь положительным).

Так как функция непрерывна на всей своей области определения, она принимает все значения в интервале от $0$ до $+\infty$, не включая $0$.

Ответ: Область определения: $D(g) = (-\infty; 0)$. Множество значений: $E(g) = (0; +\infty)$.