Страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

859. Знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата её числителя на 1. Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше $\frac{1}{4}$, а если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше $\frac{1}{10}$. Найдите такие дроби.

Пусть числитель искомой дроби равен $x$, а знаменатель равен $y$. Тогда дробь имеет вид $\frac{x}{y}$. Из условия задачи следует, что $x$ и $y$ — натуральные числа.

Первое условие задачи: "Знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата её числителя на 1". Запишем это в виде уравнения:$y = x^2 - 1$.Поскольку знаменатель $y$ должен быть положительным, то $x^2 - 1 > 0$, что означает $x^2 > 1$. Так как $x$ — натуральное число, то $x \ge 2$.

Второе условие задачи: "Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше $\frac{1}{4}$". Составим неравенство:$\frac{x+2}{y+2} > \frac{1}{4}$Подставим выражение для $y$ из первого условия:$\frac{x+2}{(x^2 - 1) + 2} > \frac{1}{4}$$\frac{x+2}{x^2 + 1} > \frac{1}{4}$Так как $x \ge 2$, то знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен. Можем умножить обе части неравенства на $4(x^2 + 1)$, не меняя знака неравенства:$4(x+2) > x^2 + 1$$4x + 8 > x^2 + 1$$x^2 - 4x - 7 < 0$

Третье условие задачи: "если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше $\frac{1}{10}$". Составим неравенство:$\frac{x-3}{y-3} < \frac{1}{10}$Чтобы знаменатель новой дроби был положительным, необходимо, чтобы $y-3 > 0$. Подставим $y=x^2-1$:$(x^2 - 1) - 3 > 0 \implies x^2 - 4 > 0 \implies x^2 > 4$.Учитывая, что $x$ — натуральное число, получаем $x > 2$, то есть $x \ge 3$.Теперь вернемся к неравенству. Подставим $y=x^2-1$:$\frac{x-3}{x^2 - 4} < \frac{1}{10}$При $x \ge 3$ знаменатель $x^2-4$ положителен. Умножим обе части на $10(x^2 - 4)$:$10(x-3) < x^2 - 4$$10x - 30 < x^2 - 4$$x^2 - 10x + 26 > 0$

Итак, мы получили систему условий для натурального числа $x$:$\begin{cases}x \ge 3 \\x^2 - 4x - 7 < 0 \\x^2 - 10x + 26 > 0\end{cases}$

Рассмотрим неравенство $x^2 - 4x - 7 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16 + 28 = 44$.Корни: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 2 \pm \sqrt{11}$.Так как ветви параболы $y=x^2-4x-7$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $2 - \sqrt{11} < x < 2 + \sqrt{11}$.Приближенно оценим значения: $3 < \sqrt{11} < 4$, поэтому $2 - \sqrt{11} \approx 2 - 3.3 = -1.3$, а $2 + \sqrt{11} \approx 2 + 3.3 = 5.3$.Таким образом, $ -1.3 < x < 5.3 $.

Рассмотрим неравенство $x^2 - 10x + 26 > 0$. Найдем дискриминант уравнения $x^2 - 10x + 26 = 0$: $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 26 = 100 - 104 = -4$.Так как дискриминант отрицателен, а ветви параболы направлены вверх, то выражение $x^2 - 10x + 26$ всегда положительно. Это неравенство верно для любого $x$.

Теперь объединим все условия для $x$: $x$ — натуральное число, $x \ge 3$ и $2 - \sqrt{11} < x < 2 + \sqrt{11}$.Учитывая, что $2+\sqrt{11} \approx 5.3$, получаем, что натуральные числа $x$, удовлетворяющие всем условиям, это $x=3$, $x=4$, $x=5$.

Найдем соответствующие дроби для каждого значения $x$:

1. Если $x=3$, то $y = 3^2 - 1 = 8$. Дробь $\frac{3}{8}$.
   Проверка:
   • $\frac{3+2}{8+2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$ (верно).
   • $\frac{3-3}{8-3} = \frac{0}{5} = 0$. $0 < \frac{1}{10}$ (верно).
2. Если $x=4$, то $y = 4^2 - 1 = 15$. Дробь $\frac{4}{15}$.
   Проверка:
   • $\frac{4+2}{15+2} = \frac{6}{17}$. Сравним $\frac{6}{17}$ и $\frac{1}{4}$. $6 \cdot 4 = 24$, $17 \cdot 1 = 17$. Так как $24>17$, то $\frac{6}{17} > \frac{1}{4}$ (верно).
   • $\frac{4-3}{15-3} = \frac{1}{12}$. Так как $12 > 10$, то $\frac{1}{12} < \frac{1}{10}$ (верно).
3. Если $x=5$, то $y = 5^2 - 1 = 24$. Дробь $\frac{5}{24}$.
   Проверка:
   • $\frac{5+2}{24+2} = \frac{7}{26}$. Сравним $\frac{7}{26}$ и $\frac{1}{4}$. $7 \cdot 4 = 28$, $26 \cdot 1 = 26$. Так как $28>26$, то $\frac{7}{26} > \frac{1}{4}$ (верно).
   • $\frac{5-3}{24-3} = \frac{2}{21}$. Сравним $\frac{2}{21}$ и $\frac{1}{10}$. $2 \cdot 10 = 20$, $21 \cdot 1 = 21$. Так как $20<21$, то $\frac{2}{21} < \frac{1}{10}$ (верно).

Все три найденных значения $x$ приводят к дробям, удовлетворяющим условиям задачи.

Ответ: $\frac{3}{8}$, $\frac{4}{15}$, $\frac{5}{24}$.

860. Решите систему уравнений

Преобразуем каждое уравнение системы. Заметим, что выражение вида $a+ab+b$ можно представить как $(a+1)(b+1)-1$. Прибавим 1 к обеим частям каждого уравнения:

$ \begin{cases} x + xy + y + 1 = 5 + 1 \\ y + yz + z + 1 = 11 + 1 \\ z + zx + x + 1 = 7 + 1 \end{cases} $

Сгруппировав слагаемые в левых частях, получим новую систему:

$ \begin{cases} (x+1)(y+1) = 6 \\ (y+1)(z+1) = 12 \\ (z+1)(x+1) = 8 \end{cases} $

Для упрощения решения введем новые переменные: $a = x+1$, $b = y+1$, $c = z+1$. Система примет вид:

$ \begin{cases} ab = 6 \\ bc = 12 \\ ca = 8 \end{cases} $

Перемножим все три уравнения этой системы:

$(ab)(bc)(ca) = 6 \cdot 12 \cdot 8$

$a^2 b^2 c^2 = 576$

$(abc)^2 = 576$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных случая для произведения $abc$:

$abc = 24$ или $abc = -24$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Пусть $abc = 24$.

Чтобы найти переменные $a, b, c$, разделим уравнение $abc=24$ на каждое из уравнений системы $ab=6, bc=12, ca=8$:

$c = \frac{abc}{ab} = \frac{24}{6} = 4$

$a = \frac{abc}{bc} = \frac{24}{12} = 2$

$b = \frac{abc}{ca} = \frac{24}{8} = 3$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x, y, z$:

$x = a - 1 = 2 - 1 = 1$

$y = b - 1 = 3 - 1 = 2$

$z = c - 1 = 4 - 1 = 3$

Первое решение: $(1; 2; 3)$.

2. Пусть $abc = -24$.

Действуем аналогично:

$c = \frac{abc}{ab} = \frac{-24}{6} = -4$

$a = \frac{abc}{bc} = \frac{-24}{12} = -2$

$b = \frac{abc}{ca} = \frac{-24}{8} = -3$

Выполним обратную замену:

$x = a - 1 = -2 - 1 = -3$

$y = b - 1 = -3 - 1 = -4$

$z = c - 1 = -4 - 1 = -5$

Второе решение: $(-3; -4; -5)$.

Ответ: $(1; 2; 3)$, $(-3; -4; -5)$.

861. Найдите значение m, при котором корни уравнения образуют арифметическую прогрессию.

x³ – 9x² + mx – 15 = 0

Пусть корни кубического уравнения $x^3 - 9x^2 + mx - 15 = 0$, которые мы обозначим как $x_1, x_2, x_3$, образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что их можно представить в виде $a - d$, $a$ и $a + d$, где $a$ — средний член прогрессии (один из корней), а $d$ — разность прогрессии.

Для решения задачи воспользуемся формулами Виета для кубического уравнения вида $x^3 + px^2 + qx + r = 0$:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 + x_3 = -p$
2. Сумма попарных произведений корней: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = q$
3. Произведение корней: $x_1x_2x_3 = -r$

В нашем уравнении $x^3 - 9x^2 + mx - 15 = 0$ коэффициенты равны $p = -9$, $q = m$, $r = -15$.
Применим первую формулу Виета, подставив в нее корни, выраженные через $a$ и $d$:
$(a - d) + a + (a + d) = -(-9)$
$3a = 9$
$a = 3$

Таким образом, мы нашли значение одного из корней — это $x_2 = a = 3$. Так как $x=3$ является корнем уравнения, он должен удовлетворять ему. Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы найти неизвестный коэффициент $m$:
$3^3 - 9 \cdot 3^2 + m \cdot 3 - 15 = 0$
$27 - 9 \cdot 9 + 3m - 15 = 0$
$27 - 81 + 3m - 15 = 0$
$-54 - 15 + 3m = 0$
$-69 + 3m = 0$
$3m = 69$
$m = 23$

Для проверки найдем остальные корни. Воспользуемся третьей формулой Виета (произведение корней):
$x_1x_2x_3 = -(-15) = 15$
$(a-d) \cdot a \cdot (a+d) = 15$
Подставим известное значение $a = 3$:
$(3-d) \cdot 3 \cdot (3+d) = 15$
$9 - d^2 = 5$
$d^2 = 4$, откуда $d = \pm 2$.
При $d=2$ корни равны $1, 3, 5$. При $d=-2$ корни равны $5, 3, 1$. В обоих случаях набор корней один и тот же.
Теперь проверим найденное значение $m$ по второй формуле Виета:
$m = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 3 \cdot 5 = 3 + 5 + 15 = 23$.
Все условия выполняются.

Ответ: $m=23$

862. Докажите, что при любом a выполняется неравенство

Для доказательства данного двойного неравенства, мы разделим его на две части и докажем каждую из них по отдельности:

1) $\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \ge \frac{1}{3}$

2) $\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3$

Прежде всего, проанализируем выражение в знаменателе дроби: $a^2 + a + 1$. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $a^2$ положительный (равен 1), то выражение $a^2 + a + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $a$. Это позволяет нам умножать обе части неравенств на этот знаменатель, не изменяя знак неравенства.

Доказательство первого неравенства:

$\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \ge \frac{1}{3}$

Умножим обе части на $3(a^2 + a + 1)$, которое, как мы выяснили, всегда положительно:

$3(a^2 - a + 1) \ge 1(a^2 + a + 1)$

$3a^2 - 3a + 3 \ge a^2 + a + 1$

Перенесем все члены в левую часть неравенства и приведем подобные слагаемые:

$(3a^2 - a^2) + (-3a - a) + (3 - 1) \ge 0$

$2a^2 - 4a + 2 \ge 0$

Разделим обе части на 2:

$a^2 - 2a + 1 \ge 0$

Левая часть является полным квадратом разности:

$(a - 1)^2 \ge 0$

Это неравенство верно для любого действительного значения $a$, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю.

Доказательство второго неравенства:

$\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3$

Умножим обе части на знаменатель $a^2 + a + 1 > 0$:

$a^2 - a + 1 \le 3(a^2 + a + 1)$

$a^2 - a + 1 \le 3a^2 + 3a + 3$

Перенесем все члены в правую часть неравенства:

$0 \le (3a^2 - a^2) + (3a + a) + (3 - 1)$

$0 \le 2a^2 + 4a + 2$

Разделим обе части на 2:

$0 \le a^2 + 2a + 1$

Правая часть является полным квадратом суммы:

$0 \le (a + 1)^2$

Это неравенство также верно для любого действительного значения $a$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

Поскольку оба неравенства $\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \ge \frac{1}{3}$ и $\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3$ верны для любого $a$, то и исходное двойное неравенство выполняется при любом значении $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $\frac{1}{3} \le \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3$ доказано для всех действительных значений $a$.

863. За сколько часов может выполнить работу каждый из трёх рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы один третий рабочий проработал 48 ч, то для окончания работы одному первому потребовалось бы 10 ч, а одному второму — 15 ч.

Для решения задачи примем весь объем работы за $1$. Обозначим производительность труда (часть работы, выполняемая за 1 час) первого, второго и третьего рабочих как $p_1$, $p_2$ и $p_3$ соответственно. Время, за которое каждый из рабочих может выполнить всю работу самостоятельно, обозначим как $t_1$, $t_2$ и $t_3$. Эти величины связаны соотношением $t = 1/p$. Цель задачи — найти $t_1$, $t_2$ и $t_3$.

Составление системы уравнений

На основе условий задачи составим систему уравнений.
1. Производительность третьего рабочего равна полусумме производительностей первого и второго:
$p_3 = \frac{p_1 + p_2}{2}$
2. Если третий рабочий проработает 48 часов, то он выполнит часть работы, равную $48 \cdot p_3$. Оставшаяся часть работы составит $1 - 48p_3$. Эту оставшуюся часть первый рабочий выполнит за 10 часов:
$1 - 48p_3 = 10 \cdot p_1$
3. Ту же самую оставшуюся работу ($1 - 48p_3$) второй рабочий выполнит за 15 часов:
$1 - 48p_3 = 15 \cdot p_2$

В результате мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} p_3 = \frac{p_1 + p_2}{2} \\ 1 - 48p_3 = 10p_1 \\ 1 - 48p_3 = 15p_2 \end{cases}$

Решение системы уравнений

Так как левые части второго и третьего уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:
$10p_1 = 15p_2$
Разделив обе части уравнения на 5, получим:
$2p_1 = 3p_2$
Отсюда можно выразить $p_1$ через $p_2$:
$p_1 = \frac{3}{2} p_2$

Теперь подставим полученное выражение для $p_1$ в первое уравнение системы:
$p_3 = \frac{\frac{3}{2} p_2 + p_2}{2} = \frac{\frac{5}{2} p_2}{2} = \frac{5}{4} p_2$

Мы выразили производительности $p_1$ и $p_3$ через $p_2$. Подставим выражение для $p_3$ в третье уравнение системы:
$1 - 48 \left(\frac{5}{4} p_2\right) = 15p_2$
$1 - 12 \cdot 5 p_2 = 15p_2$
$1 - 60p_2 = 15p_2$
$1 = 60p_2 + 15p_2$
$1 = 75p_2$
Отсюда находим производительность второго рабочего:
$p_2 = \frac{1}{75}$

Зная $p_2$, вычисляем производительности первого и третьего рабочих:
$p_1 = \frac{3}{2} p_2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{75} = \frac{3}{150} = \frac{1}{50}$
$p_3 = \frac{5}{4} p_2 = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{75} = \frac{5}{300} = \frac{1}{60}$

Нахождение времени выполнения работы

Теперь, зная производительность каждого рабочего, мы можем найти время, за которое каждый из них выполнит всю работу.
Время для первого рабочего: $t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{1/50} = 50$ часов.
Время для второго рабочего: $t_2 = \frac{1}{p_2} = \frac{1}{1/75} = 75$ часов.
Время для третьего рабочего: $t_3 = \frac{1}{p_3} = \frac{1}{1/60} = 60$ часов.

Ответ: Первый рабочий может выполнить всю работу за 50 часов, второй — за 75 часов, а третий — за 60 часов.

864. Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?

Пусть искомое двузначное число записывается как $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно условиям, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Из условия, что при делении числа на сумму квадратов его цифр ($a^2 + b^2$) частное равно 2, а остаток равен 6, мы можем составить первое уравнение:$10a + b = 2(a^2 + b^2) + 6$.При этом, по определению деления с остатком, остаток должен быть меньше делителя, то есть $6 < a^2 + b^2$.

Из второго условия, что при делении на произведение цифр ($ab$) частное равно 4, а остаток равен 6, составляем второе уравнение:$10a + b = 4ab + 6$.Так как на произведение цифр делят, то ни одна из цифр не может быть нулем ($a \ne 0, b \ne 0$). Также остаток должен быть меньше делителя: $6 < ab$.

Так как левые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$2(a^2 + b^2) + 6 = 4ab + 6$

Упростим это равенство:

$2(a^2 + b^2) = 4ab$

$a^2 + b^2 = 2ab$

$a^2 - 2ab + b^2 = 0$

Сворачиваем левую часть по формуле квадрата разности:

$(a - b)^2 = 0$

Это означает, что $a - b = 0$, или $a = b$. Таким образом, цифры искомого числа должны быть одинаковыми.

Подставим $b = a$ во второе исходное уравнение ($10a + b = 4ab + 6$):

$10a + a = 4a(a) + 6$

$11a = 4a^2 + 6$

Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$4a^2 - 11a + 6 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 - 96 = 25$.

Корни уравнения равны:

$a_1 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$a_2 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 5}{8} = \frac{16}{8} = 2$

Поскольку $a$ является цифрой, она должна быть целым числом. Значит, корень $a_1 = 3/4$ нам не подходит. Единственное возможное значение — $a=2$.

Так как $a = b$, то и $b = 2$. Следовательно, единственное двузначное число, которое может удовлетворять уравнениям, — это 22.

Теперь проверим, выполняются ли для числа 22 все условия задачи, включая неравенства для остатков.

Проверка первого условия: деление 22 на сумму квадратов цифр $2^2 + 2^2 = 8$.$22 = 2 \cdot 8 + 6$. Частное равно 2, остаток 6. Условие $6 < 8$ (остаток < делителя) выполняется. Первое условие соблюдено.

Проверка второго условия: деление 22 на произведение цифр $2 \cdot 2 = 4$.В задаче сказано, что частное должно быть 4, а остаток 6. Однако при делении с остатком остаток не может быть равен 6, так как он всегда должен быть строго меньше делителя ($6 \not< 4$). Это является противоречием. Следовательно, второе условие невыполнимо.

Поскольку единственное число-кандидат (22) не удовлетворяет второму условию, мы приходим к выводу, что такого двузначного числа не существует.

Ответ: нет, такого двузначного числа не существует.

865. Последовательности (yₙ) и (xₙ) заданы формулами yₙ = n² и xₙ = 2n – 1. Если выписать в порядке возрастания все их общие члены, то получится последовательность (cₙ). Напишите формулу n-го члена последовательности (cₙ).

Даны две последовательности: $y_n = n^2$ и $x_n = 2n - 1$.

Последовательность $(y_n)$ представляет собой последовательность квадратов натуральных чисел: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \dots$

Последовательность $(x_n)$ представляет собой последовательность нечетных натуральных чисел: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, \dots$

Последовательность $(c_n)$ состоит из общих членов последовательностей $(y_n)$ и $(x_n)$, расположенных в порядке возрастания. Это означает, что каждый член $c_n$ должен быть одновременно и полным квадратом, и нечетным числом.

Чтобы найти такие числа, приравняем формулы для общих членов. Пусть для некоторых натуральных чисел $k$ и $m$ выполняется равенство $y_k = x_m$:

$k^2 = 2m - 1$

Выражение $2m - 1$ определяет любое нечетное натуральное число при $m \ge 1$. Таким образом, мы ищем такие числа, которые являются квадратами натуральных чисел и при этом нечетны.

Рассмотрим, когда квадрат натурального числа $k$ является нечетным числом.

• Если $k$ — четное число, то $k = 2p$ (где $p$ — натуральное число). Тогда $k^2 = (2p)^2 = 4p^2$, что является четным числом.
• Если $k$ — нечетное число, то $k = 2p - 1$ (где $p$ — натуральное число). Тогда $k^2 = (2p - 1)^2 = 4p^2 - 4p + 1 = 2(2p^2 - 2p) + 1$, что является нечетным числом.

Следовательно, общими членами двух последовательностей являются квадраты нечетных натуральных чисел.

Выпишем эти общие члены в порядке возрастания, чтобы сформировать последовательность $(c_n)$:

• Первое нечетное число — 1. $c_1 = 1^2 = 1$.
• Второе нечетное число — 3. $c_2 = 3^2 = 9$.
• Третье нечетное число — 5. $c_3 = 5^2 = 25$.
• Четвертое нечетное число — 7. $c_4 = 7^2 = 49$.
• И так далее.

Мы видим, что $n$-й член последовательности $(c_n)$ является квадратом $n$-го по порядку нечетного натурального числа.

Формула для $n$-го нечетного натурального числа имеет вид $2n - 1$.

Таким образом, формула для $n$-го члена последовательности $(c_n)$ получается возведением в квадрат формулы для $n$-го нечетного числа:

$c_n = (2n - 1)^2$

Ответ: $c_n = (2n - 1)^2$.

866. При каких значениях n члены последовательности, заданной формулой

xₙ = (n + 4)(n – 5),

удовлетворяют условию

–18 ≤ xₙ ≤ 360?

По условию, необходимо найти все натуральные значения $n$, для которых члены последовательности, заданной формулой $x_n = (n + 4)(n - 5)$, удовлетворяют условию $-18 \le x_n \le 360$.

Подставим выражение для $x_n$ в двойное неравенство:

$-18 \le (n + 4)(n - 5) \le 360$

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} (n + 4)(n - 5) \ge -18 \\ (n + 4)(n - 5) \le 360 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Решение первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство: $(n + 4)(n - 5) \ge -18$.

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$n^2 - 5n + 4n - 20 \ge -18$

$n^2 - n - 2 \ge 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - n - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней, получаем:

$n_1 = -1$, $n_2 = 2$.

Так как ветви параболы $y = n^2 - n - 2$ направлены вверх, неравенство выполняется на промежутках $n \le -1$ и $n \ge 2$.

Решение второго неравенства

Рассмотрим второе неравенство: $(n + 4)(n - 5) \le 360$.

$n^2 - n - 20 \le 360$

$n^2 - n - 380 \le 0$

Найдем корни уравнения $n^2 - n - 380 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-380) = 1 + 1520 = 1521$. Корень из дискриминанта $\sqrt{1521} = 39$.

Корни уравнения равны:

$n_1 = \frac{1 - 39}{2} = -19$

$n_2 = \frac{1 + 39}{2} = 20$

Ветви параболы $y = n^2 - n - 380$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-19 \le n \le 20$.

Нахождение общего решения

Мы ищем значения $n$, которые удовлетворяют обоим условиям: $(n \le -1 \text{ или } n \ge 2)$ и $(-19 \le n \le 20)$.

Пересечение этих множеств дает нам $n \in [-19, -1] \cup [2, 20]$.

По определению, номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, то есть $n \in \mathbb{N}$ (целое положительное число).

Из найденного множества решений $[-19, -1] \cup [2, 20]$ выберем только натуральные числа.

- Промежуток $[-19, -1]$ не содержит натуральных чисел.

- Промежуток $[2, 20]$ содержит натуральные числа от 2 до 20 включительно.

Следовательно, искомые значения $n$ — это все целые числа от 2 до 20.

Ответ: $n \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$.

867. Найдите сумму первых n членов последовательности (xₙ), если

Для того чтобы найти сумму первых $n$ членов последовательности $S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k$, где $x_n = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$, необходимо представить общий член последовательности $x_k$ в виде, удобном для суммирования. Часто в таких случаях помогает разложение дроби на простейшие (элементарные) дроби.

Представим дробь $\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$ в виде суммы двух дробей:

$\frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{A}{2k - 1} + \frac{B}{2k + 1}$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{A(2k + 1) + B(2k - 1)}{(2k - 1)(2k + 1)} = \frac{(2A + 2B)k + (A - B)}{(2k - 1)(2k + 1)}$

Приравнивая числители исходной и полученной дробей, получаем тождество:

$1 = (2A + 2B)k + (A - B)$

Это равенство должно выполняться для всех значений $k$. Это возможно только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях $k$ в обеих частях равны. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} 2A + 2B = 0 & \text{(коэффициент при } k\text{)} \\ A - B = 1 & \text{(свободный член)} \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $A = -B$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$A - (-A) = 1 \implies 2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}$

Тогда $B = -A = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, общий член последовательности можно записать в виде:

$x_k = \frac{1/2}{2k - 1} - \frac{1/2}{2k + 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Теперь запишем сумму $S_n$:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} x_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} \right)$

Распишем члены этой суммы, чтобы увидеть закономерность:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{2 \cdot 1 - 1} - \frac{1}{2 \cdot 1 + 1} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 2 - 1} - \frac{1}{2 \cdot 2 + 1} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right]$

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} \right) \right]$

Это так называемая телескопическая сумма. Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{3}$ сокращается с $+\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{5}$ с $+\frac{1}{5}$ и так далее. В итоге в скобках останется только первый член первого слагаемого и последний член последнего слагаемого:

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} \right)$

Теперь упростим полученное выражение:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n + 1 - 1}{2n + 1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n + 1} = \frac{n}{2n + 1}$

Ответ: $S_n = \frac{n}{2n + 1}$

868. В последовательности (xₙ) каждый член с нечётным номером равен 2a, а с чётным равен 2b. Напишите формулу n-го члена этой последовательности.

По условию задачи, в последовательности $(x_n)$ каждый член с нечётным номером $n$ равен $2a$, а с чётным — $2b$. Это можно записать так:
$x_n = 2a$, если $n$ — нечётное,
$x_n = 2b$, если $n$ — чётное.

Чтобы получить единую формулу для $n$-го члена, воспользуемся свойством выражения $(-1)^n$, которое принимает разные значения в зависимости от чётности $n$:
- если $n$ нечётное, то $(-1)^n = -1$;
- если $n$ чётное, то $(-1)^n = 1$.

Будем искать формулу в виде $x_n = A + B \cdot (-1)^n$, где $A$ и $B$ — неизвестные коэффициенты.

Подставим условия для чётных и нечётных $n$, чтобы найти $A$ и $B$.
1. Для нечётного $n$, имеем $x_n = 2a$. Наша формула даёт $x_n = A + B \cdot (-1) = A - B$. Получаем первое уравнение: $A - B = 2a$.
2. Для чётного $n$, имеем $x_n = 2b$. Наша формула даёт $x_n = A + B \cdot (1) = A + B$. Получаем второе уравнение: $A + B = 2b$.

Получили систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} A - B = 2a \\ A + B = 2b \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы найти $A$:
$(A - B) + (A + B) = 2a + 2b$
$2A = 2(a + b)$
$A = a + b$

Теперь подставим найденное значение $A$ во второе уравнение $A + B = 2b$:
$(a + b) + B = 2b$
$B = 2b - (a + b)$
$B = b - a$

Теперь, когда мы нашли коэффициенты $A = a + b$ и $B = b - a$, подставим их в нашу общую формулу $x_n = A + B \cdot (-1)^n$:
$x_n = (a + b) + (b - a)(-1)^n$

Проверим полученную формулу:
- Если $n$ нечётное: $x_n = (a+b) + (b-a)(-1) = a+b-b+a = 2a$. Верно.
- Если $n$ чётное: $x_n = (a+b) + (b-a)(1) = a+b+b-a = 2b$. Верно.

Ответ: $x_n = (a+b) + (b-a)(-1)^n$.