Номер 866, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 866, страница 211.

Условие.

866. При каких значениях n члены последовательности, заданной формулой

xₙ = (n + 4)(n – 5),

удовлетворяют условию

–18 ≤ xₙ ≤ 360?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

По условию, необходимо найти все натуральные значения $n$, для которых члены последовательности, заданной формулой $x_n = (n + 4)(n - 5)$, удовлетворяют условию $-18 \le x_n \le 360$.

Подставим выражение для $x_n$ в двойное неравенство:

$-18 \le (n + 4)(n - 5) \le 360$

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$\begin{cases} (n + 4)(n - 5) \ge -18 \\ (n + 4)(n - 5) \le 360 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Решение первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство: $(n + 4)(n - 5) \ge -18$.

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$n^2 - 5n + 4n - 20 \ge -18$

$n^2 - n - 2 \ge 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $n^2 - n - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней, получаем:

$n_1 = -1$, $n_2 = 2$.

Так как ветви параболы $y = n^2 - n - 2$ направлены вверх, неравенство выполняется на промежутках $n \le -1$ и $n \ge 2$.

Решение второго неравенства

Рассмотрим второе неравенство: $(n + 4)(n - 5) \le 360$.

$n^2 - n - 20 \le 360$

$n^2 - n - 380 \le 0$

Найдем корни уравнения $n^2 - n - 380 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-380) = 1 + 1520 = 1521$. Корень из дискриминанта $\sqrt{1521} = 39$.

Корни уравнения равны:

$n_1 = \frac{1 - 39}{2} = -19$

$n_2 = \frac{1 + 39}{2} = 20$

Ветви параболы $y = n^2 - n - 380$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-19 \le n \le 20$.

Нахождение общего решения

Мы ищем значения $n$, которые удовлетворяют обоим условиям: $(n \le -1 \text{ или } n \ge 2)$ и $(-19 \le n \le 20)$.

Пересечение этих множеств дает нам $n \in [-19, -1] \cup [2, 20]$.

По определению, номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, то есть $n \in \mathbb{N}$ (целое положительное число).

Из найденного множества решений $[-19, -1] \cup [2, 20]$ выберем только натуральные числа.

- Промежуток $[-19, -1]$ не содержит натуральных чисел.

- Промежуток $[2, 20]$ содержит натуральные числа от 2 до 20 включительно.

Следовательно, искомые значения $n$ — это все целые числа от 2 до 20.

Ответ: $n \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$.