Номер 872, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 872, страница 212.

Условие.

872. Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть стороны треугольника обозначены как $a$, $b$ и $c$. По условию, они образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что существует такое число $q$ (знаменатель прогрессии), что $b = a \cdot q$ и $c = b \cdot q = a \cdot q^2$. Основное свойство для трех последовательных членов геометрической прогрессии заключается в том, что квадрат среднего члена равен произведению крайних, то есть $b^2 = ac$.

Обозначим высоты треугольника, проведенные к сторонам $a$, $b$ и $c$, как $h_a$, $h_b$ и $h_c$ соответственно.

Площадь треугольника $S$ можно выразить тремя способами через его стороны и соответствующие высоты:

$S = \frac{1}{2} a h_a$

$S = \frac{1}{2} b h_b$

$S = \frac{1}{2} c h_c$

Из этих равенств мы можем выразить высоты:

$h_a = \frac{2S}{a}$

$h_b = \frac{2S}{b}$

$h_c = \frac{2S}{c}$

Для того чтобы доказать, что высоты $h_a$, $h_b$, $h_c$ также образуют геометрическую прогрессию, нам нужно показать, что для них выполняется аналогичное свойство: $h_b^2 = h_a h_c$.

Рассмотрим левую часть этого предполагаемого равенства:

$h_b^2 = \left(\frac{2S}{b}\right)^2 = \frac{4S^2}{b^2}$

Теперь рассмотрим правую часть:

$h_a h_c = \left(\frac{2S}{a}\right) \cdot \left(\frac{2S}{c}\right) = \frac{4S^2}{ac}$

Поскольку мы знаем, что стороны $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию, мы можем использовать свойство $b^2 = ac$. Подставим $ac$ в выражение для произведения высот:

$h_a h_c = \frac{4S^2}{ac} = \frac{4S^2}{b^2}$

Сравнив полученные выражения для $h_b^2$ и $h_a h_c$, мы видим, что они равны:

$h_b^2 = h_a h_c$

Это равенство подтверждает, что последовательность высот $h_a, h_b, h_c$ является геометрической прогрессией. Что и требовалось доказать.

Кроме того, можно найти знаменатель $q'$ этой новой прогрессии. Он будет равен:

$q' = \frac{h_b}{h_a} = \frac{2S/b}{2S/a} = \frac{a}{b} = \frac{a}{aq} = \frac{1}{q}$

Аналогично, $\frac{h_c}{h_b} = \frac{b}{c} = \frac{aq}{aq^2} = \frac{1}{q}$. Знаменатель прогрессии высот является величиной, обратной знаменателю прогрессии сторон.

Ответ: Утверждение доказано. Если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q$, то его высоты, проведенные к этим сторонам, также образуют геометрическую прогрессию со знаменателем, равным $1/q$.