Номер 865, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 865, страница 211.

Условие.

865. Последовательности (yₙ) и (xₙ) заданы формулами yₙ = n² и xₙ = 2n – 1. Если выписать в порядке возрастания все их общие члены, то получится последовательность (cₙ). Напишите формулу n-го члена последовательности (cₙ).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Даны две последовательности: $y_n = n^2$ и $x_n = 2n - 1$.

Последовательность $(y_n)$ представляет собой последовательность квадратов натуральных чисел: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \dots$

Последовательность $(x_n)$ представляет собой последовательность нечетных натуральных чисел: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, \dots$

Последовательность $(c_n)$ состоит из общих членов последовательностей $(y_n)$ и $(x_n)$, расположенных в порядке возрастания. Это означает, что каждый член $c_n$ должен быть одновременно и полным квадратом, и нечетным числом.

Чтобы найти такие числа, приравняем формулы для общих членов. Пусть для некоторых натуральных чисел $k$ и $m$ выполняется равенство $y_k = x_m$:

$k^2 = 2m - 1$

Выражение $2m - 1$ определяет любое нечетное натуральное число при $m \ge 1$. Таким образом, мы ищем такие числа, которые являются квадратами натуральных чисел и при этом нечетны.

Рассмотрим, когда квадрат натурального числа $k$ является нечетным числом.

• Если $k$ — четное число, то $k = 2p$ (где $p$ — натуральное число). Тогда $k^2 = (2p)^2 = 4p^2$, что является четным числом.
• Если $k$ — нечетное число, то $k = 2p - 1$ (где $p$ — натуральное число). Тогда $k^2 = (2p - 1)^2 = 4p^2 - 4p + 1 = 2(2p^2 - 2p) + 1$, что является нечетным числом.

Следовательно, общими членами двух последовательностей являются квадраты нечетных натуральных чисел.

Выпишем эти общие члены в порядке возрастания, чтобы сформировать последовательность $(c_n)$:

• Первое нечетное число — 1. $c_1 = 1^2 = 1$.
• Второе нечетное число — 3. $c_2 = 3^2 = 9$.
• Третье нечетное число — 5. $c_3 = 5^2 = 25$.
• Четвертое нечетное число — 7. $c_4 = 7^2 = 49$.
• И так далее.

Мы видим, что $n$-й член последовательности $(c_n)$ является квадратом $n$-го по порядку нечетного натурального числа.

Формула для $n$-го нечетного натурального числа имеет вид $2n - 1$.

Таким образом, формула для $n$-го члена последовательности $(c_n)$ получается возведением в квадрат формулы для $n$-го нечетного числа:

$c_n = (2n - 1)^2$

Ответ: $c_n = (2n - 1)^2$.