Номер 864, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 864, страница 211.

Условие.

864. Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр даёт в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр даёт в частном 4 и в остатке 6?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомое двузначное число записывается как $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно условиям, $a \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Из условия, что при делении числа на сумму квадратов его цифр ($a^2 + b^2$) частное равно 2, а остаток равен 6, мы можем составить первое уравнение:$10a + b = 2(a^2 + b^2) + 6$.При этом, по определению деления с остатком, остаток должен быть меньше делителя, то есть $6 < a^2 + b^2$.

Из второго условия, что при делении на произведение цифр ($ab$) частное равно 4, а остаток равен 6, составляем второе уравнение:$10a + b = 4ab + 6$.Так как на произведение цифр делят, то ни одна из цифр не может быть нулем ($a \ne 0, b \ne 0$). Также остаток должен быть меньше делителя: $6 < ab$.

Так как левые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$2(a^2 + b^2) + 6 = 4ab + 6$

Упростим это равенство:

$2(a^2 + b^2) = 4ab$

$a^2 + b^2 = 2ab$

$a^2 - 2ab + b^2 = 0$

Сворачиваем левую часть по формуле квадрата разности:

$(a - b)^2 = 0$

Это означает, что $a - b = 0$, или $a = b$. Таким образом, цифры искомого числа должны быть одинаковыми.

Подставим $b = a$ во второе исходное уравнение ($10a + b = 4ab + 6$):

$10a + a = 4a(a) + 6$

$11a = 4a^2 + 6$

Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$4a^2 - 11a + 6 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 - 96 = 25$.

Корни уравнения равны:

$a_1 = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 - 5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$a_2 = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{11 + 5}{8} = \frac{16}{8} = 2$

Поскольку $a$ является цифрой, она должна быть целым числом. Значит, корень $a_1 = 3/4$ нам не подходит. Единственное возможное значение — $a=2$.

Так как $a = b$, то и $b = 2$. Следовательно, единственное двузначное число, которое может удовлетворять уравнениям, — это 22.

Теперь проверим, выполняются ли для числа 22 все условия задачи, включая неравенства для остатков.

Проверка первого условия: деление 22 на сумму квадратов цифр $2^2 + 2^2 = 8$.$22 = 2 \cdot 8 + 6$. Частное равно 2, остаток 6. Условие $6 < 8$ (остаток < делителя) выполняется. Первое условие соблюдено.

Проверка второго условия: деление 22 на произведение цифр $2 \cdot 2 = 4$.В задаче сказано, что частное должно быть 4, а остаток 6. Однако при делении с остатком остаток не может быть равен 6, так как он всегда должен быть строго меньше делителя ($6 \not< 4$). Это является противоречием. Следовательно, второе условие невыполнимо.

Поскольку единственное число-кандидат (22) не удовлетворяет второму условию, мы приходим к выводу, что такого двузначного числа не существует.

Ответ: нет, такого двузначного числа не существует.