Номер 857, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 857, страница 210.

Условие.

857. Решите систему уравнений

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ xy = 8. \end{cases} $$

Для решения введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда первое уравнение системы примет вид $a + b = 3$.

Из замены следует, что $x = a^3$ и $y = b^3$. Подставим эти выражения во второе уравнение системы:

$$ x \cdot y = a^3 \cdot b^3 = (ab)^3 = 8 $$

Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем:

$$ ab = 2 $$

Теперь мы имеем новую, более простую систему уравнений относительно переменных $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a + b = 3, \\ ab = 2. \end{cases} $$

Согласно теореме, обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.

Подставим известные значения суммы и произведения корней:

$$ t^2 - 3t + 2 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Найдем корни через дискриминант:

$$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 $$ $$ t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 1}{2} $$

Корни уравнения:

$$ t_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 $$

Это означает, что решениями для пары $(a, b)$ являются $(1, 2)$ и $(2, 1)$, так как система для $a$ и $b$ симметрична.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, рассмотрев оба случая.

Если $a=1$ и $b=2$, то:

$$ \sqrt[3]{x} = a = 1 \implies x = 1^3 = 1 $$ $$ \sqrt[3]{y} = b = 2 \implies y = 2^3 = 8 $$

Получаем первую пару решений $(x, y) = (1, 8)$.

Если $a=2$ и $b=1$, то:

$$ \sqrt[3]{x} = a = 2 \implies x = 2^3 = 8 $$ $$ \sqrt[3]{y} = b = 1 \implies y = 1^3 = 1 $$

Получаем вторую пару решений $(x, y) = (8, 1)$.

Ответ: $(1, 8)$, $(8, 1)$.